Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
16 x^2-48 x-112-9 y^2-12 y=0
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica no plano 16 x^2 -48x -112 -9 y^2 -12 y =0 :
O conteúdo aqui é de cônicas, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação nessa forma padrão e, assim, entender melhor como desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 16x^2 -48x -9y^2 -12y =112 e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para completar o quadrado em (-482 times 16)^2 = (-4832)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 , pegamos o coeficiente de (-122 times -9)^2 = (-12-18)^2 = (23)^2 = 49 , que é -48, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Aplicamos o mesmo processo para :

Passo 4

Agora, reescrevemos a equação adicionando e subtraindo esses valores:
16(x^2 -3x + 2.25) -9(y^2 + 43y + 49) =112 + 16 times 2.25 -9 times 49
Simplificando:
16(x -1.5)^2 -9(y + 23)^2 =112 +36 -4 =144

Passo 5

Dividindo tudo por 144 para obter a forma padrão:
(x -1.5)^29 - (y + 23)^216 =1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal.

Passo 6

Identificamos os parâmetros:
  • Centro da hipérbole:
  • (distância do centro aos vértices)
  • (relacionado à abertura da hipérbole)

Passo 7

Com essas informações, podemos desenhar a hipérbole:
  1. Marque o centro no ponto .
  2. A partir do centro, mova-se 3 unidades para a direita e esquerda para localizar os vértices.
  3. Use para desenhar as retas assíntotas que determinam a direção da hipérbole.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em , vértices em e , e assíntotas determinando a abertura. O esboço apresenta uma hipérbole horizontal centrada nesse ponto.

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