Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica no plano
:
O conteúdo aqui é de cônicas, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação nessa forma padrão e, assim, entender melhor como desenhar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
, pegamos o coeficiente de
, que é -48, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Aplicamos o mesmo processo para
:
Passo 4
Agora, reescrevemos a equação adicionando e subtraindo esses valores:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo tudo por 144 para obter a forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal.
Passo 6
Identificamos os parâmetros:
- Centro da hipérbole:
-
(distância do centro aos vértices) -
(relacionado à abertura da hipérbole)
Passo 7
Com essas informações, podemos desenhar a hipérbole:
- Marque o centro no ponto
. - A partir do centro, mova-se 3 unidades para a direita e esquerda para localizar os vértices.
- Use
para desenhar as retas assíntotas que determinam a direção da hipérbole.
Resposta
A curva é uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, e assíntotas determinando a abertura. O esboço apresenta uma hipérbole horizontal centrada nesse ponto.