Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica no plano :
O conteúdo aqui é de cônicas, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação nessa forma padrão e, assim, entender melhor como desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para completar o quadrado em , pegamos o coeficiente de , que é -48, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Aplicamos o mesmo processo para :

Passo 4

Agora, reescrevemos a equação adicionando e subtraindo esses valores:
Simplificando:

Passo 5

Dividindo tudo por 144 para obter a forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo horizontal.

Passo 6

Identificamos os parâmetros:
  • Centro da hipérbole:
  • (distância do centro aos vértices)
  • (relacionado à abertura da hipérbole)

Passo 7

Com essas informações, podemos desenhar a hipérbole:
  1. Marque o centro no ponto .
  2. A partir do centro, mova-se 3 unidades para a direita e esquerda para localizar os vértices.
  3. Use para desenhar as retas assíntotas que determinam a direção da hipérbole.

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em , vértices em e , e assíntotas determinando a abertura. O esboço apresenta uma hipérbole horizontal centrada nesse ponto.

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© é um isomorfismo? Justifique.
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Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
© .