Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, encontrar sua inversa. Estamos lidando com matrizes e, mais especificamente, com a invertibilidade delas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e podemos seguir para encontrar a inversa usando a regra de Cramer ou outros métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus aqui para facilitar.
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos encontrar a inversa dessa matriz.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, podemos usar a seguinte fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz original, vamos calcular o cofator correspondente, que envolve calcular o determinante do menor (submatriz 2x2) que resta quando removemos a linha e a coluna desse elemento, e multiplicar por 0 & 2 0 & 1 , onde 2 & 2 2 & 1 e 2 & 0 2 & 0 são os índices da linha e coluna.
Vamos calcular os cofatores:
2 & 0 0 & 1 :
Removendo a primeira linha e primeira coluna:
1 & 0 2 & 1
Determinante: 1 & 2 2 & 0
Cofator: 2 & 0 0 & 2
1 & 0 2 & 2 :
Removendo a primeira linha e segunda coluna:
1 & 2 2 & 0
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e primeira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e segunda coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e primeira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e segunda coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
Passo 5
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 0 & 2 & 0 -2 & 1 & 4 4 & -2 & -4
Em seguida, calculamos a adjunta da matriz, que é a transposta da matriz dos cofatores: