Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para descobrir se a matriz dada é invertível e, se for, encontrar sua inversa. Estamos lidando com matrizes e, mais especificamente, com a invertibilidade delas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e podemos seguir para encontrar a inversa usando a regra de Cramer ou outros métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a regra de Sarrus aqui para facilitar.
Nossa matriz é:
Aplicando a regra de Sarrus:
Calculando cada termo:
Passo 3
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos encontrar a inversa dessa matriz.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, podemos usar a seguinte fórmula:
Onde é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz original, vamos calcular o cofator correspondente, que envolve calcular o determinante do menor (submatriz 2x2) que resta quando removemos a linha e a coluna desse elemento, e multiplicar por , onde e são os índices da linha e coluna.
Vamos calcular os cofatores:
:
Removendo a primeira linha e primeira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a primeira linha e segunda coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e primeira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e segunda coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a segunda linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e primeira coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e segunda coluna:
Determinante:
Cofator:
:
Removendo a terceira linha e terceira coluna:
Determinante:
Cofator:
Passo 5
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, calculamos a adjunta da matriz, que é a transposta da matriz dos cofatores: