Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
(j) 7 x^2-6 raiz3 x y+13 y^2-4 raiz3 x-4 y-12=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática em e que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa (como elipse, hipérbole ou parábola), ajustar as coordenadas para simplificar a equação, e encontrar características importantes como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos precisar usar álgebra linear, especialmente transformação de coordenadas e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
7x^2 - 6raiz3xy +13y^2 -4raiz3x -4y -12=0
Perceba que temos um termo misto , o que sugere que a cônica está girada em relação aos eixos padrão. Para simplificar, vamos mudar o sistema de coordenadas de forma que esse termo desapareça. Isso envolve encontrar um ângulo de rotação que elimina o termo .

Passo 3

O ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C pode ser encontrado usando a fórmula:
tan(2theta) = -6raiz37 - 13 = -6raiz3-6 = raiz3
Onde 2theta = 60^circ implies theta = 30^circ , , e .
Calculando:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora que sabemos que precisamos rotacionar os eixos em x = x'costheta - y'sintheta , usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
x = x'(raiz32) - y'(12)
Substituindo y = x'(12) + y'(raiz32) :

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0 , transformando a equação em uma forma mais simples:
10x'^2 + 16y'^2 - 8x' - 8y' -12 = 0
Após os cálculos, a equação resulta em:

Passo 6

Agora, vamos completar o quadrado para 10x'^2 - 8x' = 10(x'^2 - 45x') = 10((x' - 25)^2 - 425) = 10(x' - 25)^2 - 85 e 16y'^2 - 8y' = 16(y'^2 - 12y') = 16((y' - 14)^2 - 116) = 16(y' - 14)^2 - 1 :
Para 10(x' - 25)^2 + 16(y' - 14)^2 - 85 -1 -12 = 0 :
10(x' - 25)^2 + 16(y' - 14)^2 = 335
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por (x' - 25)^23350 + (y' - 14)^23380 = 1 para obter a forma reduzida:
Essa é a equação de uma elipse, já que os coeficientes de e são positivos e diferentes.

Passo 8

Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
Centro: a^2 = 3350 implies a = raiz3350
Eixos principais:
b^2 = 3380 implies b = raiz3380
Os vértices estão a uma distância e do centro ao longo dos eixos principais.

Passo 9

Como não há termos de na equação reduzida, não precisamos de assíntotas ou diretrizes para a elipse. A orientação está definida pela rotação que fizemos inicialmente.

Resposta

A equação (x' - 25)^23350 + (y' - 14)^23380 = 1 representa uma elipse. Após uma rotação de , a equação reduzida é:
O centro da elipse está em , com vértices a uma distância de e unidades ao redor do centro. Não há assíntotas ou diretrizes para esta elipse.

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