Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática em e que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa (como elipse, hipérbole ou parábola), ajustar as coordenadas para simplificar a equação, e encontrar características importantes como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos precisar usar álgebra linear, especialmente transformação de coordenadas e completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Perceba que temos um termo misto , o que sugere que a cônica está girada em relação aos eixos padrão. Para simplificar, vamos mudar o sistema de coordenadas de forma que esse termo desapareça. Isso envolve encontrar um ângulo de rotação que elimina o termo .
Passo 3
O ângulo de rotação pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde , , e .
Calculando:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora que sabemos que precisamos rotacionar os eixos em , usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
Substituindo :
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo , transformando a equação em uma forma mais simples:
Após os cálculos, a equação resulta em:
Passo 6
Agora, vamos completar o quadrado para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por para obter a forma reduzida:
Essa é a equação de uma elipse, já que os coeficientes de e são positivos e diferentes.
Passo 8
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
Centro:
Eixos principais:
Os vértices estão a uma distância e do centro ao longo dos eixos principais.
Passo 9
Como não há termos de na equação reduzida, não precisamos de assíntotas ou diretrizes para a elipse. A orientação está definida pela rotação que fizemos inicialmente.
Resposta
A equação representa uma elipse. Após uma rotação de , a equação reduzida é:
O centro da elipse está em , com vértices a uma distância de e unidades ao redor do centro. Não há assíntotas ou diretrizes para esta elipse.