Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(j)
.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática em
e
que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa (como elipse, hipérbole ou parábola), ajustar as coordenadas para simplificar a equação, e encontrar características importantes como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos precisar usar álgebra linear, especialmente transformação de coordenadas e completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Perceba que temos um termo misto
, o que sugere que a cônica está girada em relação aos eixos padrão. Para simplificar, vamos mudar o sistema de coordenadas de forma que esse termo desapareça. Isso envolve encontrar um ângulo de rotação que elimina o termo
.
Passo 3
O ângulo de rotação
pode ser encontrado usando a fórmula:
Onde
,
, e
.
Calculando:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora que sabemos que precisamos rotacionar os eixos em
, usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
Substituindo
:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo
, transformando a equação em uma forma mais simples:
Após os cálculos, a equação resulta em:
Passo 6
Agora, vamos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma reduzida:
Essa é a equação de uma elipse, já que os coeficientes de
e
são positivos e diferentes.
Passo 8
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
Centro:
Eixos principais:
Os vértices estão a uma distância
e
do centro ao longo dos eixos principais.
Passo 9
Como não há termos de
na equação reduzida, não precisamos de assíntotas ou diretrizes para a elipse. A orientação está definida pela rotação que fizemos inicialmente.
Resposta
A equação
representa uma elipse. Após uma rotação de
, a equação reduzida é:
O centro da elipse está em
, com vértices a uma distância de
e
unidades ao redor do centro. Não há assíntotas ou diretrizes para esta elipse.