Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma matriz é invertível e, se for, calcular a sua inversa. A matéria que vamos usar aqui é sobre matrizes e suas propriedades, principalmente o conceito de matriz invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) é invertível se existir outra matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade (uma matriz com 1’s na diagonal e 0’s no resto). Para verificar se a matriz é invertível, podemos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz de 4x4:
Perceba que essa matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos calcular a sua inversa. Para matrizes triangulares, a inversa também será uma matriz triangular, e os elementos da diagonal principal serão os inversos dos elementos originais.
Então, para nossa matriz:
Os elementos da diagonal serão:
Os outros elementos serão ajustados para manter a propriedade da inversa. Vamos substituir: