Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma matriz é invertível e, se for, calcular a sua inversa. A matéria que vamos usar aqui é sobre matrizes e suas propriedades, principalmente o conceito de matriz invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) é invertível se existir outra matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade (uma matriz com 1’s na diagonal e 0’s no resto). Para verificar se a matriz é invertível, podemos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz de 4x4:
Perceba que essa matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos calcular a sua inversa. Para matrizes triangulares, a inversa também será uma matriz triangular, e os elementos da diagonal principal serão os inversos dos elementos originais.
Então, para nossa matriz:
Os elementos da diagonal serão:
Os outros elementos serão ajustados para manter a propriedade da inversa. Vamos substituir:

Resposta

A matriz dada é invertível e a sua inversa é:

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Dê exemplos de matrizes e , quadradas de mesmo tamanho, tais que .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(j) .