Dê exemplos de matrizes A e B, quadradas de mesmo tamanho, tais que det(A+B) neq det(A)+det(B).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar exemplos de duas matrizes quadradas e que tenham o mesmo tamanho, de modo que o determinante da soma dessas matrizes ( ) não seja igual à soma dos determinantes delas ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes quadradas e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz quadrada. É uma tabela de números com o mesmo número de linhas e colunas, como uma tabela 2x2 ou 3x3. O determinante de uma matriz é um número que a caracteriza e tem várias propriedades importantes na matemática, especialmente em sistemas lineares e geometria.
Uma propriedade interessante dos determinantes é que, em geral, o determinante da soma de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes dessas matrizes. Vamos ver isso na prática!

Passo 3

Vamos começar com um exemplo simples de matrizes 2x2. Escolheremos matrizes fáceis para os cálculos:
A = 1 & 2 3 & 4 , B = 5 & 6 7 & 8

Passo 4

Agora, vamos calcular A + B = 1+5 & 2+6 3+7 & 4+8 = 6 & 8 10 & 12 :
det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
Em seguida, calculamos os determinantes:
Para det(B) = (5)(8) - (6)(7) = 40 - 42 = -2 :
det(A+B) = (6)(12) - (8)(10) = 72 - 80 = -8
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores:
det(A) + det(B) = -2 + (-2) = -4
det(A+B) = -8
Vemos que não é igual a . Portanto, as matrizes que escolhemos atendem ao que a questão pediu.

Resposta

Um exemplo de matrizes que satisfazem A = 1 & 2 3 & 4 , B = 5 & 6 7 & 8 é:

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