Sabendo que det(A)=1 / 5 e
(A^-1)^T=(ccc 1 & -1 & -1 a & 0 & b 2 & 3 & 3 )
determine os possiveis valores de a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que o determinante da matriz é e nos apresenta a matriz transposta da inversa de , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os possíveis valores dos números e que aparecem nessa matriz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes:
  1. Determinante da Inversa: Se det(A^-1) = 1det(A) = 5 , então o determinante da inversa de det((A^-1)^T) = det(A^-1) = 5 é dado por:
  2. Determinante da Transposta: O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
Então, sabemos que o determinante da matriz é 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz (A^-1)^T = 1 & -1 & -1 a & 0 & b 2 & 3 & 3 que nos foi dada:
det((A^-1)^T) = 1 cdot (0 cdot 3 - b cdot 3) - (-1) cdot (a cdot 3 - b cdot 2) + (-1) cdot (a cdot 3 - 0 cdot 2)
Para calcular o determinante dessa matriz 3x3, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a segunda:
1 cdot (0 cdot 3 - b cdot 3) = 1 cdot (-3b) = -3b
Simplificando passo a passo:
  1. Primeiro termo:
    -(-1) cdot (a cdot 3 - b cdot 2) = 1 cdot (3a - 2b) = 3a - 2b
  2. Segundo termo:
    -1 cdot (a cdot 3 - 0 cdot 2) = -1 cdot 3a = -3a
  3. Terceiro termo:
    -3b + 3a - 2b - 3a = (-3b - 2b) + (3a - 3a) = -5b
Agora, somando todos os termos:
-5b = 5
Sabemos que esse determinante deve ser igual a 5:
b = -1
Resolvendo para :

Resposta

Os possíveis valores são e pode ser qualquer número real.

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