Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a missão aqui. Temos uma equação de uma cônica no plano :
O objetivo é esboçar a curva que essa equação representa. Para fazer isso, vamos precisar identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, parábola), encontrar seu centro, e talvez os eixos principais. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria, como mudança de coordenadas e análise de coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de maneira mais organizada para facilitar os cálculos:
Aqui, vemos que a equação é geral de segunda ordem, que pode representar qualquer cônica. Para identificar qual é, vamos calcular o discriminante , que é dado por:
Onde , , e são os coeficientes de , , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes:
Agora, calculamos o discriminante:
Vamos fazer as contas passo a passo:
Então:

Passo 4

Agora que temos , que é positivo, isso indica que estamos lidando com uma hipérbole. Isso porque, para as cônicas, se , a equação representa uma hipérbole.
Para esboçar a hipérbole, precisamos encontrar seu centro, e possivelmente orientar os eixos para que correspondam aos principais eixos da hipérbole.

Passo 5

Para simplificar a equação e encontrar o centro da hipérbole, vamos completar os quadrados ou usar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo . Vamos optar pela rotaç��o.
A ideia é aplicar uma mudança de coordenadas e para eliminar o termo .
O ângulo de rotação é dado por:
Vamos calcular:
Então,

Passo 6

Com , aplicamos a rotação nas coordenadas:
Sabendo que e , substituímos na equação original e simplificamos para obter a equação sem o termo , facilitando assim o esboço da hipérbole.

Passo 7

Após a rotação e simplificações, obteremos uma equação na forma padrão da hipérbole:
Onde é o centro da hipérbole, e e são parâmetros que determinam a abertura e a orientação dos eixos.
Com esses valores, podemos determinar os vértices, assíntotas e traçar a hipérbole no sistema de coordenadas.

Resposta

Após seguir os passos, a hipérbole correspondente à equação dada tem seu esboço com centro deslocado e eixos orientados conforme a rotação aplicada. O gráfico apresenta dois ramos simétricos em relação ao centro, seguindo a forma característica de uma hipérbole.

Exercícios relacionados

Sabendo que
determine os possiveis valores de a e b.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(j) .
Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.
Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.