Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a missão aqui. Temos uma equação de uma cônica no plano
:
O objetivo é esboçar a curva que essa equação representa. Para fazer isso, vamos precisar identificar que tipo de cônica é essa (elipse, hipérbole, parábola), encontrar seu centro, e talvez os eixos principais. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria, como mudança de coordenadas e análise de coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de maneira mais organizada para facilitar os cálculos:
Aqui, vemos que a equação é geral de segunda ordem, que pode representar qualquer cônica. Para identificar qual é, vamos calcular o discriminante
, que é dado por:
Onde
,
, e
são os coeficientes de
,
, e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes:
Agora, calculamos o discriminante:
Vamos fazer as contas passo a passo:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, que é positivo, isso indica que estamos lidando com uma hipérbole. Isso porque, para as cônicas, se
, a equação representa uma hipérbole.
Para esboçar a hipérbole, precisamos encontrar seu centro, e possivelmente orientar os eixos para que correspondam aos principais eixos da hipérbole.
Passo 5
Para simplificar a equação e encontrar o centro da hipérbole, vamos completar os quadrados ou usar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo
. Vamos optar pela rota�o.
A ideia é aplicar uma mudança de coordenadas
e
para eliminar o termo
.
O ângulo de rotação
é dado por:
Vamos calcular:
Então,
Passo 6
Com
, aplicamos a rotação nas coordenadas:
Sabendo que
e
, substituímos na equação original e simplificamos para obter a equação sem o termo
, facilitando assim o esboço da hipérbole.
Passo 7
Após a rotação e simplificações, obteremos uma equação na forma padrão da hipérbole:
Onde
é o centro da hipérbole, e
e
são parâmetros que determinam a abertura e a orientação dos eixos.
Com esses valores, podemos determinar os vértices, assíntotas e traçar a hipérbole no sistema de coordenadas.
Resposta
Após seguir os passos, a hipérbole correspondente à equação dada tem seu esboço com centro deslocado e eixos orientados conforme a rotação aplicada. O gráfico apresenta dois ramos simétricos em relação ao centro, seguindo a forma característica de uma hipérbole.