Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, ajustar as coordenadas para deixar a equação mais simples (forma reduzida) e encontrar pontos importantes como focos, vértices, assíntotas ou diretrizes. Para isso, vamos mexer com álgebra e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e . Para isso, fatoramos os coeficientes quadráticos:
  • Para :
    • Fator comum:
    • Expressão:
    • Completando o quadrado:
  • Para :
    • Fator comum:
    • Expressão:
    • Completando o quadrado:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Vamos simplificar os termos constantes:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Perceba que acabamos de chegar a uma forma mais simples!

Passo 5

Observando a equação , vemos que é uma hipérbole porque temos termos quadráticos com sinais opostos. A equação geral de uma hipérbole centrada em é:
Vamos ajustar nossa equação para essa forma.

Passo 6

Dividindo ambos os lados da nossa equação por não faz sentido, mas percebemos que a equação original após completar o quadrado resulta em , o que indica que a hipérbole está na forma degenerada. Para ter uma hipérbole real, o lado direito deve ser . Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar o passo 4.
Na verdade, após completar os quadrados, temos:
Isso indica que a equação não representa uma hipérbole real. Vamos verificar novamente nossos cálculos.

Passo 7

Parece que houve um erro ao completar os quadrados. Vamos refazer:
Após completarmos os quadrados corretamente:
Isso ainda sugere uma equação degenerada. Porém, provavelmente houve um erro na transcrição inicial. Assumindo que a equação correta resultaria em uma hipérbole, vamos ajustar para a forma padrão.

Passo 8

Considerando que a equação representa uma hipérbole, temos:
Centro:
Valores:
Focos e vértices seriam calculados com base nesses valores, mas devido à natureza degenerada da equação original, não há uma hipérbole real definida.

Resposta

A equação representa uma hipérbole degenerada, o que significa que não existe uma hipérbole real associada a essa equação.

Exercícios relacionados

Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(a) Determine as equações geral e na forma reduzida (padrão) desta hipérbole.
Determine os valores de a para os quais o sistema
admite uma única solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções.
Considere a transformação linear definida por
(d) é sobrejetora? Justifique.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(e) .