Considere a transformação linear T: R^4 R^3 definida por
T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
(d) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se a transformação linear T(x, y, z, t) = (x - y + z + t, x + 2z - t, x + y + 3z - 3t) definida por
é sobrejetora.
Isso está relacionado ao estudo das transformações lineares e suas propriedades, especificamente sobrejeção. Para determinar se é sobrejetora, precisamos verificar se todo vetor em pode ser alcançado por aplicado a algum vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Ou seja, a imagem de deve cobrir todo o espaço de chegada .

Passo 3

Para verificar se x - y + z + t = a x + 2z - t = b x + y + 3z - 3t = c é sobrejetora, precisamos analisar o sistema de equações lineares que define . Dado um vetor em , queremos saber se existe um vetor em tal que:
Isso significa que devemos verificar se esse sistema tem solução para todo .

Passo 4

Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada e aplicar o método de escalonamento para ver se as equações são consistentes. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 1 & 1 & | & a 1 & 0 & 2 & -1 & | & b 1 & 1 & 3 & -3 & | & c

Passo 5

Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
(1-1, 0-(-1), 2-1, -1-1 | b - a) Rightarrow (0, 1, 1, -2 | b - a)
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
(1-1, 1-(-1), 3-1, -3-1 | c - a) Rightarrow (0, 2, 2, -4 | c - a)
Agora, a matriz fica:
1 & -1 & 1 & 1 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & b - a 0 & 2 & 2 & -4 & | & c - a

Passo 6

Continuamos simplificando. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 2:
(0 - 2*0, 2 - 2*1, 2 - 2*1, -4 - 2*(-2) | c - a - 2*(b - a)) Rightarrow (0, 0, 0, 0 | c - a - 2b + 2a)
Simplificando o lado direito:
c - a - 2b + 2a = a - 2b + c
Agora, a matriz é:
1 & -1 & 1 & 1 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & b - a 0 & 0 & 0 & 0 & | & a - 2b + c

Passo 7

Para que o sistema seja consistente, a última linha não pode ter uma igualdade impossível, como a - 2b + c = 0 onde . Portanto, precisamos que:
Isso significa que, para o sistema ter solução, os coeficientes devem satisfazer .

Passo 8

Como a condição nem sempre é verdadeira para todo em , concluímos que nem todo vetor em pode ser obtido pela transformação . Ou seja, a imagem de não cobre todo .

Resposta

Não, a transformação não é sobrejetora, pois nem todo vetor em pode ser alcançado por .

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