Uma hipérbole tem seu centro em C=(3,4), um vértice em (3,5) e as assíntotas são y-4= pm 2(x-3).
(a) Determine as equações geral e na forma reduzida (padrão) desta hipérbole.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma hipérbole com centro em , um vértice em e assíntotas dadas por . Nosso objetivo é encontrar as equações geral e na forma reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender como identificar as características da hipérbole e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar se a hipérbole é vertical ou horizontal. Observamos que o centro é e um vértice está em . Como o vértice tem a mesma coordenada que o centro, isso indica que a hipérbole é vertical. Isso significa que a abertura da hipérbole está para cima e para baixo.

Passo 3

A forma padrão da equação de uma hipérbole vertical é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionada à inclinação das assíntotas.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a = |5 - 4| = 1 . Sabemos que o centro é e um vértice está em . A distância entre o centro e o vértice é:
Então, .

Passo 5

As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são dadas por:
y - k = pm ab(x - h)
No exercício, as assíntotas são ab = 2 . Comparando com a fórmula, temos:
1b = 2 implies b = 12
Substituindo :

Passo 6

Agora que temos (y - 4)^21^2 - (x - 3)^2(12)^2 = 1 e (y - 4)^21 - (x - 3)^214 = 1 , podemos escrever a forma reduzida da equação da hipérbole:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar a equação geral, vamos eliminar as frações multiplicando todos os termos por 4:
4(y - 4)^2 - 16(x - 3)^2 = 4
Então, a equação geral da hipérbole é:
4(y - 4)^2 - 16(x - 3)^2 = 4

Resposta

A equação na forma reduzida da hipérbole é:
(y - 4)^21 - (x - 3)^214 = 1
E a equação geral da hipérbole é:
4(y - 4)^2 - 16(x - 3)^2 = 4

Exercícios relacionados