Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(a) Determine as equações geral e na forma reduzida (padrão) desta hipérbole.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma hipérbole com centro em , um vértice em e assíntotas dadas por . Nosso objetivo é encontrar as equações geral e na forma reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender como identificar as características da hipérbole e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar se a hipérbole é vertical ou horizontal. Observamos que o centro é e um vértice está em . Como o vértice tem a mesma coordenada que o centro, isso indica que a hipérbole é vertical. Isso significa que a abertura da hipérbole está para cima e para baixo.
Passo 3
A forma padrão da equação de uma hipérbole vertical é:
onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionada à inclinação das assíntotas.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de . Sabemos que o centro é e um vértice está em . A distância entre o centro e o vértice é:
Então, .
Passo 5
As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são dadas por:
No exercício, as assíntotas são . Comparando com a fórmula, temos:
Substituindo :
Passo 6
Agora que temos e , podemos escrever a forma reduzida da equação da hipérbole:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar a equação geral, vamos eliminar as frações multiplicando todos os termos por 4:
Então, a equação geral da hipérbole é:
Resposta
A equação na forma reduzida da hipérbole é:
E a equação geral da hipérbole é: