Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são . (a) Determine as equações geral e na forma reduzida (padrão) desta hipérbole.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma hipérbole com centro em , um vértice em e assíntotas dadas por . Nosso objetivo é encontrar as equações geral e na forma reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender como identificar as características da hipérbole e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar se a hipérbole é vertical ou horizontal. Observamos que o centro é e um vértice está em . Como o vértice tem a mesma coordenada que o centro, isso indica que a hipérbole é vertical. Isso significa que a abertura da hipérbole está para cima e para baixo.

Passo 3

A forma padrão da equação de uma hipérbole vertical é: onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionada à inclinação das assíntotas.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . Sabemos que o centro é e um vértice está em . A distância entre o centro e o vértice é: Então, .

Passo 5

As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são dadas por: No exercício, as assíntotas são . Comparando com a fórmula, temos: Substituindo :

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a forma reduzida da equação da hipérbole: Simplificando:

Passo 7

Para encontrar a equação geral, vamos eliminar as frações multiplicando todos os termos por 4: Então, a equação geral da hipérbole é:

Resposta

A equação na forma reduzida da hipérbole é: E a equação geral da hipérbole é:

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