admite uma única solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções.
Passo 1
Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você colocou. A gente precisa descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + a y - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y + a z = -a
Nosso objetivo é encontrar o valor de que determina o tipo de solução que o sistema terá.
Passo 3
Para resolver sistemas de equações lineares, uma ferramenta muito útil é a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo de outras condições.
Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & a & -1 1 & -1 & -2 -1 & -1 & a
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 cdot (-a - 2) - a cdot (a - 2) + (-1) cdot (-1 - 1)
Simplificando cada termo:
det(A) = -a - 2 - a^2 + 2a + 2
det(A) = -a^2 + a
Passo 5
Agora que temos o determinante:
det(A) = -a^2 + a = a(1 - a)
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
a(1 - a) neq 0
Isso significa que não pode ser 0 nem 1.
Passo 6
Agora, vamos analisar os casos onde o determinante é igual a zero, ou seja, quando x - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y = 0 ou x - (-x) - 2z = -2 2x - 2z = -2 x - z = -1 .
Caso 1: x + y - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y + z = -1