admite uma única solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções.
Passo 1
Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você colocou. A gente precisa descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que determina o tipo de solução que o sistema terá.
Passo 3
Para resolver sistemas de equações lineares, uma ferramenta muito útil é a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo de outras condições.
Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa matriz:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora que temos o determinante:
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
Isso significa que não pode ser 0 nem 1.
Passo 6
Agora, vamos analisar os casos onde o determinante é igual a zero, ou seja, quando ou .
Caso 1:
Substituindo no sistema:
Da terceira equação, temos , ou seja, . Substituindo isso na segunda equação:
Comparando com a primeira equação , chegamos a uma contradição (). Isso significa que não há solução para .
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos montar a matriz aumentada e fazer uma redução:
Subtraindo a primeira linha da segunda:
Adicionando a primeira linha à terceira:
Observe que a terceira equação ficou , o que significa que temos infinitas soluções para .
Resposta
O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto quando ou .