Determine os valores de a para os quais o sistema
x+a y-z & =1 x-y-2 z & =-2 -x-y+a z & =-a
admite uma única solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções.

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você colocou. A gente precisa descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
x + a y - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y + a z = -a
Nosso objetivo é encontrar o valor de que determina o tipo de solução que o sistema terá.

Passo 3

Para resolver sistemas de equações lineares, uma ferramenta muito útil é a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo de outras condições.
Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & a & -1 1 & -1 & -2 -1 & -1 & a

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 cdot (-1 cdot a - (-2) cdot (-1)) - a cdot (1 cdot a - (-2) cdot (-1)) + (-1) cdot (1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1))
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (-a - 2) - a cdot (a - 2) + (-1) cdot (-1 - 1)
Simplificando cada termo:
det(A) = -a - 2 - a^2 + 2a + 2
det(A) = -a^2 + a

Passo 5

Agora que temos o determinante:
det(A) = -a^2 + a = a(1 - a)
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
a(1 - a) neq 0
Isso significa que não pode ser 0 nem 1.

Passo 6

Agora, vamos analisar os casos onde o determinante é igual a zero, ou seja, quando x - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y = 0 ou x - (-x) - 2z = -2 2x - 2z = -2 x - z = -1 .
Caso 1: x + y - z = 1 x - y - 2 z = -2 - x - y + z = -1
Substituindo 1 & 1 & -1 & | & 1 1 & -1 & -2 & | & -2 -1 & -1 & 1 & | & -1 no sistema:
1 & 1 & -1 & | & 1 0 & -2 & -1 & | & -3 -1 & -1 & 1 & | & -1
Da terceira equação, temos 1 & 1 & -1 & | & 1 0 & -2 & -1 & | & -3 0 & 0 & 0 & | & 0 , ou seja, . Substituindo isso na segunda equação:
Comparando com a primeira equação , chegamos a uma contradição ( ). Isso significa que não há solução para .
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos montar a matriz aumentada e fazer uma redução:
Subtraindo a primeira linha da segunda:
Adicionando a primeira linha à terceira:
Observe que a terceira equação ficou , o que significa que temos infinitas soluções para .

Resposta

O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto quando ou .
  • Quando e : O sistema tem uma única solução.
  • Quando : O sistema não tem solução.
  • Quando : O sistema possui infinitas soluções.

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