Determine os valores de a para os quais o sistema
admite uma única solução, nenhuma solução, ou infinitas soluções.

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você colocou. A gente precisa descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. O que vamos precisar aqui é entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que determina o tipo de solução que o sistema terá.

Passo 3

Para resolver sistemas de equações lineares, uma ferramenta muito útil é a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma ou infinitas soluções, dependendo de outras condições.
Vamos construir a matriz dos coeficientes do sistema:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa matriz:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora que temos o determinante:
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
Isso significa que não pode ser 0 nem 1.

Passo 6

Agora, vamos analisar os casos onde o determinante é igual a zero, ou seja, quando ou .
Caso 1:
Substituindo no sistema:
Da terceira equação, temos , ou seja, . Substituindo isso na segunda equação:
Comparando com a primeira equação , chegamos a uma contradição ( ). Isso significa que não há solução para .
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Vamos montar a matriz aumentada e fazer uma redução:
Subtraindo a primeira linha da segunda:
Adicionando a primeira linha à terceira:
Observe que a terceira equação ficou , o que significa que temos infinitas soluções para .

Resposta

O sistema tem uma única solução para todos os valores de exceto quando ou .
  • Quando e : O sistema tem uma única solução.
  • Quando : O sistema não tem solução.
  • Quando : O sistema possui infinitas soluções.

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Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Calcule o determinante das matrizes e .
Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(a) Determine as equações geral e na forma reduzida (padrão) desta hipérbole.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(b) .