Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve uma cônica. A equação dada é . Para identificar qual cônica estamos lidando, vamos precisar completar o quadrado e possivelmente mudar as coordenadas. Vamos usar álgebra linear e rotação de eixos para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes gerais da equação da cônica: . Aqui, temos:

Passo 3

Para identificar a cônica, calculamos o discriminante . Isso nos ajuda a saber se é uma elipse, parabola ou hipérbole.
Como , sabemos que a cônica é uma elipse.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo usando uma rotação de eixos. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Isso implica que , então .

Passo 5

Com , aplicamos a rotação das coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original para simplificar.

Passo 6

Após substituir e simplificar, a equação na nova coordenada fica:
Simplificando os termos, obtemos uma equação sem o termo , representando a elipse na forma padrão.

Passo 7

A forma padrão da elipse após a rotação é:
Identificamos os valores de e a partir dos coeficientes da equação simplificada. Supondo que , os vértices estarão ao longo do eixo .

Passo 8

Determinar os vértices e focos:
  • Vértices: São os pontos na nova coordenada.
  • Focos: São os pontos , onde .

Passo 9

As assíntotas não se aplicam para elipses, pois são características de hipérboles. Portanto, não temos assíntotas nesse caso.

Passo 10

As retas diretrizes também não são aplicáveis para elipses, pois elas são específicas para parábolas.

Passo 11

Finalmente, fazemos o esboço da elipse no sistema de coordenadas original, aplicando a rotação inversa para posicioná-la corretamente.

Resposta

A equação representa uma elipse. Após rotação e simplificação, encontramos os vértices e focos, e traçamos o esboço da elipse no sistema de coordenadas .

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Considere a transformação linear definida por
(d) é sobrejetora? Justifique.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(b) .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(h) .
Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(e) .