Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares! Aqui temos duas funções,
e
, que transformam vetores no plano
. Nosso foco é descobrir o que acontece quando aplicamos a transformação
duas vezes seguidas, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar entender como
age nos vetores e depois aplicar essa ação novamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que transforma vetores de maneira que preserva a adição e a multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação
é definida por:
Isso significa que
simplesmente troca as coordenadas
e
do vetor.
Passo 3
Agora, para encontrar
, precisamos aplicar
duas vezes. Vamos começar aplicando
uma vez:
Então, vamos aplicar
novamente no resultado
:
Ou seja, ao aplicar
duas vezes, voltamos ao vetor original.
Resposta
Portanto, a transformação
resulta em: