Sejam T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(0, x)
Determine:
(e) T^2(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares! Aqui temos duas funções, e , que transformam vetores no plano . Nosso foco é descobrir o que acontece quando aplicamos a transformação duas vezes seguidas, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar entender como age nos vetores e depois aplicar essa ação novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que transforma vetores de maneira que preserva a adição e a multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação T(x, y) = (y, x) é definida por:
Isso significa que simplesmente troca as coordenadas e do vetor.

Passo 3

Agora, para encontrar T(x, y) = (y, x) , precisamos aplicar T(y, x) = (x, y) duas vezes. Vamos começar aplicando uma vez:
Então, vamos aplicar novamente no resultado :
Ou seja, ao aplicar duas vezes, voltamos ao vetor original.

Resposta

Portanto, a transformação T^2(x, y) = (x, y) resulta em:

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