Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos identificar qual cônica ela representa. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre cônicas, mudanças de coordenadas e formas reduzidas das equações das cônicas. Vamos dar uma olhada nos coeficientes e ver como podemos simplificar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar os termos quadráticos, lineares e constantes:
Aqui temos termos quadráticos em
,
e
, além de termos lineares e uma constante.
Passo 3
Para simplificar a equação, vamos tentar eliminar o termo
fazendo uma rotação do sistema de coordenadas. A rotação de eixos é útil quando temos um termo de
que complica a identificação da cônica. A fórmula para o ângulo
de rotação é:
Onde
,
, e
(coeficientes da equação geral
).
Passo 4
Calculando o ângulo
:
Então,
Esse ângulo
vai nos ajudar a encontrar as novas coordenadas
e
que eliminam o termo
.
Passo 5
Agora, aplicamos a rotação de coordenadas usando as fórmulas:
Substituímos essas expressões na equação original e simplificamos para obter a nova equação sem o termo
.
Passo 6
Após realizar a substituição e simplificação (o que envolve cálculos extensos que geralmente são feitos com auxílio de ferramentas de álgebra), chegaríamos à forma reduzida da equação, identificando assim qual cônica estamos lidando (elipse, hipérbole ou parábola).
Passo 7
Com a equação na forma reduzida, identificamos as características da cônica:
- Vértices: pontos onde a cônica intercepta o eixo principal.
- Focos: pontos focais definidos pela cônica.
- Assíntotas: linhas que a cônica se aproxima (no caso de hipérboles).
- Retas diretrizes: linhas usadas na definição de algumas cônicas, como parábolas.
Passo 8
Finalmente, fazemos um esboço da cônica com base nas características encontradas, posicionando vértices, focos, assíntotas e diretrizes conforme necessário no sistema de coordenadas original
.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma hipérbole. Após realizar a rotação das coordenadas para eliminar o termo
e simplificar a equação, identificamos os vértices e focos da hipérbole, além das assíntotas. O esboço da hipérbole foi efetuado no sistema de coordenadas
, mostrando sua orientação e principais características.
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Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(e) .
(e)
Considere a transformação linear
definida por
(d)
é sobrejetora? Justifique.
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(e) .
(e)
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).