Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano
:
O conteúdo que vamos usar envolve identificação de tipos de cônicas e determinação de seus vértices. Precisamos completar o quadrado e talvez rotacionar os eixos para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação tem termos mistos (
), o que indica que a cônica está rotacionada. Para facilitar, vamos eliminar o termo
usando uma rotação de eixos.
Passo 3
A rotação de eixos é feita usando o ângulo
que satisfaz:
Aqui,
,
e
. Então:
Passo 4
Com
, as novas coordenadas
estão relacionadas às antigas por:
Como
, substituímos na equação original.
Passo 5
Substituindo e simplificando, a equação original se transforma em:
Agora, agrupamos termos semelhantes e completamos o quadrado para
e
.
Passo 6
Completando o quadrado:
Para :
Para
Para
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a equação de uma hipérbole.
Passo 9
Para encontrar os vértices da hipérbole, olhamos para a forma padrão:
Os vértices estão a uma distância
do centro
ao longo do eixo principal.
Passo 10
Aqui,
, e o centro está em
. Portanto, os vértices na coordenada
são:
Resposta
As coordenadas dos vértices da cônica são
e
.