Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano xy:
x^2 + 2xy + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0
O conteúdo que vamos usar envolve identificação de tipos de cônicas e determinação de seus vértices. Precisamos completar o quadrado e talvez rotacionar os eixos para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação tem termos mistos ( 2xy), o que indica que a cônica está rotacionada. Para facilitar, vamos eliminar o termo xy usando uma rotação de eixos.

Passo 3

A rotação de eixos é feita usando o ângulo theta que satisfaz:
tan(2theta) = BA - C
Aqui, A = 1, B = 2 e C = 1. Então:
tan(2theta) = 21 - 1 = 20 tan(2theta) é indefinido, então 2theta = 90^circ Rightarrow theta = 45^circ éã

Passo 4

Com theta = 45^circ, as novas coordenadas (x', y') estão relacionadas às antigas por:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Como cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22, substituímos na equação original.

Passo 5

Substituindo e simplificando, a equação original se transforma em:
x'^2 - y'^2 + raiz2x' - raiz2y' + 16 = 0
Agora, agrupamos termos semelhantes e completamos o quadrado para x' e y'.

Passo 6

Completando o quadrado:
Para x':
x'^2 + raiz2x' = (x' + raiz22)^2 - 12
Para y':
- y'^2 - raiz2y' = -(y' + raiz22)^2 + 12

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
(x' + raiz22)^2 - 12 - (y' + raiz22)^2 + 12 + 16 = 0 Rightarrow (x' + raiz22)^2 - (y' + raiz22)^2 + 16 = 0

Passo 8

Simplificando:
(x' + raiz22)^2 - (y' + raiz22)^2 = -16
Dividindo ambos os lados por -16:
(y' + raiz22)^216 - (x' + raiz22)^216 = 1
Essa é a equação de uma hipérbole.

Passo 9

Para encontrar os vértices da hipérbole, olhamos para a forma padrão:
(y' - k)^2a^2 - (x' - h)^2a^2 = 1
Os vértices estão a uma distância a do centro (h, k) ao longo do eixo principal.

Passo 10

Aqui, a^2 = 16 Rightarrow a = 4, e o centro está em (-raiz22, -raiz22). Portanto, os vértices na coordenada y' são:
(-raiz22, -raiz22 + 4) e (-raiz22, -raiz22 - 4)

Resposta

As coordenadas dos vértices da cônica são (-raiz22, -raiz22 + 4) e (-raiz22, -raiz22 - 4).

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