Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano :
O conteúdo que vamos usar envolve identificação de tipos de cônicas e determinação de seus vértices. Precisamos completar o quadrado e talvez rotacionar os eixos para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação tem termos mistos (), o que indica que a cônica está rotacionada. Para facilitar, vamos eliminar o termo usando uma rotação de eixos.
Passo 3
A rotação de eixos é feita usando o ângulo que satisfaz:
Aqui, , e . Então:
Passo 4
Com , as novas coordenadas estão relacionadas às antigas por:
Como , substituímos na equação original.
Passo 5
Substituindo e simplificando, a equação original se transforma em:
Agora, agrupamos termos semelhantes e completamos o quadrado para e .
Passo 6
Completando o quadrado:
Para :
Para :
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação de uma hipérbole.
Passo 9
Para encontrar os vértices da hipérbole, olhamos para a forma padrão:
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo principal.
Passo 10
Aqui, , e o centro está em . Portanto, os vértices na coordenada são: