Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano :
O conteúdo que vamos usar envolve identificação de tipos de cônicas e determinação de seus vértices. Precisamos completar o quadrado e talvez rotacionar os eixos para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação tem termos mistos ( ), o que indica que a cônica está rotacionada. Para facilitar, vamos eliminar o termo usando uma rotação de eixos.

Passo 3

A rotação de eixos é feita usando o ângulo que satisfaz:
Aqui, , e . Então:
éã

Passo 4

Com , as novas coordenadas estão relacionadas às antigas por:
Como , substituímos na equação original.

Passo 5

Substituindo e simplificando, a equação original se transforma em:
Agora, agrupamos termos semelhantes e completamos o quadrado para e .

Passo 6

Completando o quadrado:
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação de uma hipérbole.

Passo 9

Para encontrar os vértices da hipérbole, olhamos para a forma padrão:
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo principal.

Passo 10

Aqui, , e o centro está em . Portanto, os vértices na coordenada são:

Resposta

As coordenadas dos vértices da cônica são e .

Exercícios relacionados

Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(e) .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(h) .
Resolva o sistema
usando a regra de Cramer.
Sejam e transformações lineares definidas por
Determine:
(b) .