Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai identificar que tipo de cônica é representada pela equação dada, fazer umas mudanças nas coordenadas pra facilitar e encontrar coisas como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e trigonometria, mas vou explicar tudo direitinho para você não ficar perdido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
A presença do termo
indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos
e
. Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação de eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos a fórmula da rotação de coordenadas. A fórmula geral para rotacionar os eixos em um ângulo
é:
O ângulo
é escolhido de modo que o coeficiente de
na nova equação seja zero. A condição para isso é:
Onde
,
e
são os coeficientes dos termos
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Identificando os coeficientes na nossa equação:
Substituindo na fórmula:
Isso significa que
, então
.
Passo 5
Agora, vamos fazer a substituição com
:
Substituindo na fórmula de rotação:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 7
Substituindo e simplificando:
Expandindo os quadrados:
Simplificando os termos:
Agora, somando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
Vamos isolar os termos em
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, completamos o quadrado para os termos em
:
Completar o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Distribuindo o 2:
Passo 10
Isolando o termo quadrático:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 11
Agora, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma parábola ou hipérbole. Observando que temos apenas um termo quadrático em
, isso indica que a cônica é uma parábola.
A equação está na forma:
Onde
é o vértice.
Comparando com nossa equação:
Podemos escrever:
Então, o vértice é
.
Passo 12
Para encontrar os focos e diretrizes, usamos as propriedades da parábola. Sabemos que a distância focal
está relacionada ao coeficiente de
:
No nosso caso:
Então, o foco está a uma distância
do vértice na direção da abertura da parábola. Como a parábola abre para a direita (positivo em
), o foco é:
E a diretriz é a reta vertical a uma distância
do vértice oposta à abertura:
Passo 13
Finalmente, para as assíntotas, como é uma parábola, não temos assíntotas (elas são características de hipérboles). Portanto, podemos ignorar essa parte para esta cônica.
Resposta
A cônica representada pela equação é uma parábola que, após a rotação dos eixos em
, tem seu vértice em
, foca em
e diretriz na reta
. O esboço da parábola mostra sua abertura para a direita no sistema de coordenadas rotacionado.