Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai identificar que tipo de cônica é representada pela equação dada, fazer umas mudanças nas coordenadas pra facilitar e encontrar coisas como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e trigonometria, mas vou explicar tudo direitinho para você não ficar perdido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
A presença do termo indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos e . Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação de eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo , usamos a fórmula da rotação de coordenadas. A fórmula geral para rotacionar os eixos em um ângulo é:
O ângulo é escolhido de modo que o coeficiente de na nova equação seja zero. A condição para isso é:
Onde , e são os coeficientes dos termos , e , respectivamente.
Passo 4
Identificando os coeficientes na nossa equação:
Substituindo na fórmula:
Isso significa que , então .
Passo 5
Agora, vamos fazer a substituição com :
Substituindo na fórmula de rotação:
Passo 6
Agora, vamos substituir e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 7
Substituindo e simplificando:
Expandindo os quadrados:
Simplificando os termos:
Agora, somando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
Vamos isolar os termos em :
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 9
Agora, completamos o quadrado para os termos em :
Completar o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Distribuindo o 2:
Passo 10
Isolando o termo quadrático:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 11
Agora, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma parábola ou hipérbole. Observando que temos apenas um termo quadrático em , isso indica que a cônica é uma parábola.
A equação está na forma:
Onde é o vértice.
Comparando com nossa equação:
Podemos escrever:
Então, o vértice é .
Passo 12
Para encontrar os focos e diretrizes, usamos as propriedades da parábola. Sabemos que a distância focal está relacionada ao coeficiente de :
No nosso caso:
Então, o foco está a uma distância do vértice na direção da abertura da parábola. Como a parábola abre para a direita (positivo em ), o foco é:
E a diretriz é a reta vertical a uma distância do vértice oposta à abertura:
Passo 13
Finalmente, para as assíntotas, como é uma parábola, não temos assíntotas (elas são características de hipérboles). Portanto, podemos ignorar essa parte para esta cônica.
Resposta
A cônica representada pela equação é uma parábola que, após a rotação dos eixos em , tem seu vértice em , foca em e diretriz na reta . O esboço da parábola mostra sua abertura para a direita no sistema de coordenadas rotacionado.