Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
(a) -x^2-y^2+2 x y+2 x+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai identificar que tipo de cônica é representada pela equação dada, fazer umas mudanças nas coordenadas pra facilitar e encontrar coisas como focos, vértices, assíntotas e diretrizes. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e trigonometria, mas vou explicar tudo direitinho para você não ficar perdido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que temos:
- x^2 - y^2 + 2xy + 2x + 2 = 0
A presença do termo indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos e . Nosso objetivo é eliminar esse termo para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação de eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo x = X cos theta - Y sin theta , usamos a fórmula da rotação de coordenadas. A fórmula geral para rotacionar os eixos em um ângulo y = X sin theta + Y cos theta é:
tan 2theta = BA - C
O ângulo é escolhido de modo que o coeficiente de na nova equação seja zero. A condição para isso é:
Onde , e são os coeficientes dos termos , e , respectivamente.

Passo 4

Identificando os coeficientes na nossa equação:
A = -1, B = 2, C = -1
Substituindo na fórmula:
tan 2theta = 2-1 - (-1) = 20
Isso significa que , então .

Passo 5

Agora, vamos fazer a substituição com cos 45^circ = sin 45^circ = raiz22 :
x = X cdot raiz22 - Y cdot raiz22 = raiz22(X - Y)
Substituindo na fórmula de rotação:
y = X cdot raiz22 + Y cdot raiz22 = raiz22(X + Y)

Passo 6

Agora, vamos substituir - (raiz22(X - Y))^2 - (raiz22(X + Y))^2 + 2 cdot raiz22(X - Y) cdot raiz22(X + Y) + 2 cdot raiz22(X - Y) + 2 = 0 e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 7

Substituindo e simplificando:
- 12(X - Y)^2 - 12(X + Y)^2 + X^2 - Y^2 + raiz2(X - Y) + 2 = 0
Expandindo os quadrados:
- 12(X^2 - 2XY + Y^2) - 12(X^2 + 2XY + Y^2) + X^2 - Y^2 + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0
Simplificando os termos:
- 12X^2 + XY - 12Y^2 - 12X^2 - XY - 12Y^2 + X^2 - Y^2 + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0
Agora, somando os termos semelhantes:
(-12X^2 - 12X^2 + X^2) + (XY - XY) + (-12Y^2 - 12Y^2 - Y^2) + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0
Isso simplifica para:
0X^2 + 0XY - 2Y^2 + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0
Ou seja:
-2Y^2 + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0

Passo 8

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
-2Y^2 + raiz2X - raiz2Y + 2 = 0
Vamos isolar os termos em -2Y^2 - raiz2Y = -raiz2X - 2 :
2Y^2 + raiz2Y = raiz2X + 2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, completamos o quadrado para os termos em 2(Y^2 + raiz22Y) = raiz2X + 2 :
Y^2 + raiz22Y + (raiz24)^2 - (raiz24)^2 = Y^2 + raiz22Y + 18 - 18
Completar o quadrado dentro dos parênteses:
2((Y + raiz24)^2 - 18) = raiz2X + 2
Então:
2(Y + raiz24)^2 - 14 = raiz2X + 2
Distribuindo o 2:

Passo 10

Isolando o termo quadrático:
2(Y + raiz24)^2 = raiz2X + 2 + 14
2(Y + raiz24)^2 = raiz2X + 94
Dividindo ambos os lados por 2:
(Y + raiz24)^2 = raiz22X + 98

Passo 11

Agora, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma parábola ou hipérbole. Observando que temos apenas um termo quadrático em (Y - k)^2 = a(X - h) , isso indica que a cônica é uma parábola.
A equação está na forma:
(Y + raiz24)^2 = raiz22X + 98
Onde (Y - (-raiz24))^2 = raiz22(X - (-94)) é o vértice.
Comparando com nossa equação:
Podemos escrever:
Então, o vértice é .

Passo 12

Para encontrar os focos e diretrizes, usamos as propriedades da parábola. Sabemos que a distância focal a = 14p está relacionada ao coeficiente de raiz22 = 14p implies p = 12raiz2 :
(-94 + 12raiz2, -raiz24)
No nosso caso:
X = -94 - 12raiz2
Então, o foco está a uma distância do vértice na direção da abertura da parábola. Como a parábola abre para a direita (positivo em ), o foco é:
E a diretriz é a reta vertical a uma distância do vértice oposta à abertura:

Passo 13

Finalmente, para as assíntotas, como é uma parábola, não temos assíntotas (elas são características de hipérboles). Portanto, podemos ignorar essa parte para esta cônica.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma parábola que, após a rotação dos eixos em , tem seu vértice em , foca em e diretriz na reta . O esboço da parábola mostra sua abertura para a direita no sistema de coordenadas rotacionado.

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