Determine quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar quais das matrizes apresentadas estão em forma escalonada reduzida. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao estudo das matrizes e suas formas. Para resolver isso, vamos analisar cada matriz uma por uma, verificando se elas atendem aos critérios da forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os requisitos para uma matriz estar em forma escalonada reduzida:
  1. Todos os zeros estão abaixo e acima dos pivôs (os primeiros non-zero de cada linha).
  2. Cada pivô é 1.
  3. Os pivôs estão à direita dos pivôs das linhas acima.
  4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras posições.
Vamos aplicar essas regras em cada uma das matrizes fornecidas.

Passo 3

Analisando a matriz (a):
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,3) e (3,4).
  • Todos os pivôs são 1.
  • Os pivôs estão à direita dos anteriores.
  • Não há entradas diferentes de zero acima ou abaixo dos pivôs.
    Essa matriz está em forma escalonada reduzida.

Passo 4

Analisando a matriz (b):
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,4).
  • Todos os pivôs são 1.
  • Os pivôs estão em ordem à direita.
  • Entretanto, na coluna 2, acima do pivô (posição (2,2)), há um 1 na posição (2,3), o que viola a regra de zeros acima dos pivôs.
    Essa matriz NÃO está em forma escalonada reduzida.

Passo 5

Analisando a matriz ©:
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,3) e (3,2).
  • Embora os pivôs sejam 1, a terceira linha tem um pivô na coluna 2, que está à esquerda do pivô na linha 2 (coluna 3), o que não segue a ordem correta.
    Essa matriz NÃO está em forma escalonada reduzida.

Passo 6

Analisando a matriz (d):
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,4).
  • Todos os pivôs são 1 e estão em ordem correta à direita.
  • No entanto, na coluna 2, acima do pivô não há entradas diferentes de zero, mas na coluna 3 há um 2 acima do pivô na linha 2, o que viola a condição de zeros acima dos pivôs.
    Essa matriz NÃO está em forma escalonada reduzida.

Passo 7

Analisando a matriz (e):
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,2) e (3,4).
  • Todos os pivôs são 1 e estão organizados à direita.
  • Contudo, na coluna 2, há um 1 na posição (2,3), o que não mantém zeros acima do pivô.
    Essa matriz NÃO está em forma escalonada reduzida.

Passo 8

Analisando a matriz (f):
  • Os pivôs são 1 nas posições (1,1), (2,2) e 2 na posição (3,3).
  • Os pivôs na terceira linha não são 1, o que já viola a regra.
    Essa matriz NÃO está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A única matriz que está em forma escalonada reduzida é a opção (a).

Exercícios relacionados

Encontre condições sobre e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):
Use o método de Gauss-Jordan para colocar as matrizes a seguir na sua forma escalonada reduzida.
(a)
©
(b)
(d)
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(g) .