Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
394 x^2+25 raiz32 x y-114 y^2+(9-16 raiz3) x-(16+9 raiz3) y-137=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação de uma cônica no plano XY:
394 x^2+25 raiz32 x y-114 y^2+(9-16 raiz3) x-(16+9 raiz3) y-137=0
O objetivo é mudar as coordenadas de forma apropriada para simplificar essa equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Pra isso, vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado e colocar a equação numa forma mais fácil de analisar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, olhamos os coeficientes dos termos quadráticos , e .
Temos:
A fórmula para determinar o tipo de cônica é usando o discriminante .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante De:
( 25 raiz32 )^2 = 625 times 34 = 18754
Primeiro, calculamos 4 times 394 times ( -114 ) = 39 times ( -114 ) = -4294 :
De
Agora, calculamos :
Então:

Passo 4

Como tan(2theta) = BA - C , isso indica que a cônica é uma hipérbole. Agora, precisamos eliminar o termo para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação das coordenadas.
A fórmula para o ângulo de rotação é:
Vamos calcular :

Passo 5

Calculando tan(2theta) = 25 raiz32394 - ( -114 ) = 25 raiz32504 = 25 raiz32252 = raiz3 :
2theta = 60° Rightarrow theta = 30°
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos fazer a rotação das coordenadas em x = x' costheta - y' sintheta . As fórmulas para a troca de coordenadas são:
y = x' sintheta + y' costheta
cos(30°) = raiz32, sin(30°) = 12
Substituindo x = x' ( raiz32 ) - y' ( 12 ) :
y = x' ( 12 ) + y' ( raiz32 )
Então,

Passo 7

Vamos substituir essas expressões na equação original e simplificar. Após a substituição e simplificação, o termo x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1 vai desaparecer, deixando a equação sem o termo cruzado.
Após os cálculos (que podem ser extensos), a equação reduzida fica na forma:
Isso confirma que estamos lidando com uma hipérbole.

Resposta

Após realizar a rotação das coordenadas em x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1 e simplificar, a equação da cônica na nova coordenada fica na forma reduzida de uma hipérbole:
Portanto, a cônica representada pela equação inicial é uma hipérbole.

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