Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação de uma cônica no plano XY:
O objetivo é mudar as coordenadas de forma apropriada para simplificar essa equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Pra isso, vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado
e colocar a equação numa forma mais fácil de analisar. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, olhamos os coeficientes dos termos quadráticos
,
e
.
Temos:
A fórmula para determinar o tipo de cônica é usando o discriminante
.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Então:
Passo 4
Como
, isso indica que a cônica é uma hipérbole. Agora, precisamos eliminar o termo
para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação das coordenadas.
A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Vamos calcular
:
Passo 5
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos fazer a rotação das coordenadas em
. As fórmulas para a troca de coordenadas são:
Substituindo
:
Então,
Passo 7
Vamos substituir essas expressões na equação original e simplificar. Após a substituição e simplificação, o termo
vai desaparecer, deixando a equação sem o termo cruzado.
Após os cálculos (que podem ser extensos), a equação reduzida fica na forma:
Isso confirma que estamos lidando com uma hipérbole.
Resposta
Após realizar a rotação das coordenadas em
e simplificar, a equação da cônica na nova coordenada
fica na forma reduzida de uma hipérbole:
Portanto, a cônica representada pela equação inicial é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(g) .
(g)
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(a) .
(a)
Considere
, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios
e
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(a) Escreva a equação da reta