Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação de uma cônica no plano XY:
O objetivo é mudar as coordenadas de forma apropriada para simplificar essa equação e identificar que tipo de cônica ela representa. Pra isso, vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado e colocar a equação numa forma mais fácil de analisar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Para isso, olhamos os coeficientes dos termos quadráticos , e .
Temos:
A fórmula para determinar o tipo de cônica é usando o discriminante .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então:

Passo 4

Como , isso indica que a cônica é uma hipérbole. Agora, precisamos eliminar o termo para simplificar a equação. Para isso, vamos realizar uma rotação das coordenadas.
A fórmula para o ângulo de rotação é:
Vamos calcular :

Passo 5

Calculando :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos fazer a rotação das coordenadas em . As fórmulas para a troca de coordenadas são:
Substituindo :
Então,

Passo 7

Vamos substituir essas expressões na equação original e simplificar. Após a substituição e simplificação, o termo vai desaparecer, deixando a equação sem o termo cruzado.
Após os cálculos (que podem ser extensos), a equação reduzida fica na forma:
Isso confirma que estamos lidando com uma hipérbole.

Resposta

Após realizar a rotação das coordenadas em e simplificar, a equação da cônica na nova coordenada fica na forma reduzida de uma hipérbole:
Portanto, a cônica representada pela equação inicial é uma hipérbole.

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(g) .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
Considere , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios e como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).