Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(g) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre formas padrão das cônicas e como fazer uma rotação de coordenadas para simplificar a equação. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação tem um termo , o que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos tradicionais. Para simplificar, vamos usar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.
A fórmula para a rotação é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que zera o coeficiente de na equação transformada.
Passo 3
Para eliminar o termo , usamos a fórmula:
Onde , e .
Calculando:
Então,
Usamos uma calculadora para encontrar radianos (aproximadamente -26,565°).
Passo 4
Agora, aplicamos a rotação com radianos. Substituímos e nas equações originais:
Substituindo na equação original:
Simplificando (que envolve bastante álgebra), chegamos a uma equação sem o termo .
Passo 5
Após simplificar, a equação se transforma em uma forma padrão de hipérbole:
Onde e são valores que determinam a abertura e os eixos da hipérbole.
Passo 6
Agora, identificamos os vértices e focos da hipérbole. Sabemos que para a hipérbole na forma :
Os vértices estão em
Os focos estão em , onde
Como nossa equação é igual a zero, ajustamos para a forma padrão, assumindo que .
Passo 7
Determinar as equações das assíntotas. Para a hipérbole, as assíntotas são dadas por:
No nosso caso, com , as assíntotas são:
Passo 8
As retas diretrizes para a hipérbole são:
Substituindo os valores de e , obtemos as equações das diretrizes.
Resposta
A equação representa uma hipérbole. Após uma rotação de aproximadamente -26,565°, a forma reduzida é . Os vértices estão em e os focos em , onde . As assíntotas são as retas , e as retas diretrizes são . O esboço da hipérbole mostraria duas curvas simétricas em relação ao novo sistema de coordenadas.