Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática:
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre formas padrão das cônicas e como fazer uma rotação de coordenadas para simplificar a equação. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação tem um termo
, o que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos tradicionais. Para simplificar, vamos usar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.
A fórmula para a rotação é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo
que zera o coeficiente de
na equação transformada.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos a fórmula:
Onde
,
e
.
Calculando:
Então,
Usamos uma calculadora para encontrar
radianos (aproximadamente -26,565°).
Passo 4
Agora, aplicamos a rotação com
radianos. Substituímos
e
nas equações originais:
Substituindo na equação original:
Simplificando (que envolve bastante álgebra), chegamos a uma equação sem o termo
.
Passo 5
Após simplificar, a equação se transforma em uma forma padrão de hipérbole:
Onde
e
são valores que determinam a abertura e os eixos da hipérbole.
Passo 6
Agora, identificamos os vértices e focos da hipérbole. Sabemos que para a hipérbole na forma
:
- Os vértices estão em
- Os focos estão em
, onde
Como nossa equação é igual a zero, ajustamos para a forma padrão, assumindo que
.
Passo 7
Determinar as equações das assíntotas. Para a hipérbole, as assíntotas são dadas por:
No nosso caso, com
, as assíntotas são:
Passo 8
As retas diretrizes para a hipérbole são:
Substituindo os valores de
e
, obtemos as equações das diretrizes.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole. Após uma rotação de aproximadamente -26,565°, a forma reduzida é
. Os vértices estão em
e os focos em
, onde
. As assíntotas são as retas
, e as retas diretrizes são
. O esboço da hipérbole mostraria duas curvas simétricas em relação ao novo sistema de coordenadas.