Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
(g) 2 x^2-y^2-6 x y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre formas padrão das cônicas e como fazer uma rotação de coordenadas para simplificar a equação. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem um termo x = x' cos theta - y' sin theta , o que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos tradicionais. Para simplificar, vamos usar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.
A fórmula para a rotação é:
y = x' sin theta + y' cos theta
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que zera o coeficiente de na equação transformada.

Passo 3

Para eliminar o termo tan 2theta = CA - B , usamos a fórmula:
tan 2theta = -62 - (-1) = -63 = -2
Onde 2theta = arctan(-2) Rightarrow theta = 12 arctan(-2) , e .
Calculando:
Então,
Usamos uma calculadora para encontrar radianos (aproximadamente -26,565°).

Passo 4

Agora, aplicamos a rotação com x = x' cos theta - y' sin theta radianos. Substituímos y = x' sin theta + y' cos theta e 2(x' cos theta - y' sin theta)^2 - (x' sin theta + y' cos theta)^2 - 6(x' cos theta - y' sin theta)(x' sin theta + y' cos theta) = 0 nas equações originais:
Substituindo na equação original:
Simplificando (que envolve bastante álgebra), chegamos a uma equação sem o termo .

Passo 5

Após simplificar, a equação se transforma em uma forma padrão de hipérbole:
x'^2a^2 - y'^2b^2 = 0
Onde e são valores que determinam a abertura e os eixos da hipérbole.

Passo 6

Agora, identificamos os vértices e focos da hipérbole. Sabemos que para a hipérbole na forma :
  • Os vértices estão em
  • Os focos estão em , onde
Como nossa equação é igual a zero, ajustamos para a forma padrão, assumindo que .

Passo 7

Determinar as equações das assíntotas. Para a hipérbole, as assíntotas são dadas por:
y' = pm ba x'
No nosso caso, com y' = pm x' , as assíntotas são:

Passo 8

As retas diretrizes para a hipérbole são:
x' = pm a^2c
Substituindo os valores de e , obtemos as equações das diretrizes.

Resposta

A equação representa uma hipérbole. Após uma rotação de aproximadamente -26,565°, a forma reduzida é . Os vértices estão em e os focos em , onde . As assíntotas são as retas , e as retas diretrizes são . O esboço da hipérbole mostraria duas curvas simétricas em relação ao novo sistema de coordenadas.

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