Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre formas padrão das cônicas e como fazer uma rotação de coordenadas para simplificar a equação. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem um termo , o que indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos tradicionais. Para simplificar, vamos usar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.
A fórmula para a rotação é:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que zera o coeficiente de na equação transformada.

Passo 3

Para eliminar o termo , usamos a fórmula:
Onde , e .
Calculando:
Então,
Usamos uma calculadora para encontrar radianos (aproximadamente -26,565°).

Passo 4

Agora, aplicamos a rotação com radianos. Substituímos e nas equações originais:
Substituindo na equação original:
Simplificando (que envolve bastante álgebra), chegamos a uma equação sem o termo .

Passo 5

Após simplificar, a equação se transforma em uma forma padrão de hipérbole:
Onde e são valores que determinam a abertura e os eixos da hipérbole.

Passo 6

Agora, identificamos os vértices e focos da hipérbole. Sabemos que para a hipérbole na forma :
  • Os vértices estão em
  • Os focos estão em , onde
Como nossa equação é igual a zero, ajustamos para a forma padrão, assumindo que .

Passo 7

Determinar as equações das assíntotas. Para a hipérbole, as assíntotas são dadas por:
No nosso caso, com , as assíntotas são:

Passo 8

As retas diretrizes para a hipérbole são:
Substituindo os valores de e , obtemos as equações das diretrizes.

Resposta

A equação representa uma hipérbole. Após uma rotação de aproximadamente -26,565°, a forma reduzida é . Os vértices estão em e os focos em , onde . As assíntotas são as retas , e as retas diretrizes são . O esboço da hipérbole mostraria duas curvas simétricas em relação ao novo sistema de coordenadas.

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Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
Determine quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação. (Obs. Embora a equação seja
Considere , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios e como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.