Encontre condições sobre a, b e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):
A=(llll 1 & 2 & 0 & a 2 & 0 & 4 & b 3 & 2 & 4 & c )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar condições sobre os valores de , e para que um sistema de equações lineares, representado por uma matriz aumentada, tenha solução. Isso é matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência. Vamos precisar usar operações de linhas para simplificar a matriz e descobrir essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
A = 1 & 2 & 0 & | & a 2 & 0 & 4 & | & b 3 & 2 & 4 & | & c
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para ver se o sistema tem solução, ou seja, se é consistente.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Fazendo isso, temos:
1 & 2 & 0 & | & a 0 & -4 & 4 & | & b - 2a 0 & -4 & 4 & | & c - 3a

Passo 4

Agora, observamos que as segunda e terceira linhas ficaram iguais nos coeficientes, então vamos subtrair a segunda linha da terceira linha para simplificar ainda mais:
1 & 2 & 0 & | & a 0 & -4 & 4 & | & b - 2a 0 & 0 & 0 & | & c - b - a

Passo 5

Para que o sistema seja consistente, a última linha não pode representar uma equação impossível, como c - b - a = 0 . Ou seja, precisamos que:
c = a + b
Isso simplifica para:

Resposta

Para que o sistema seja consistente, os valores devem satisfazer .

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