Encontre condições sobre e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar condições sobre os valores de , e para que um sistema de equações lineares, representado por uma matriz aumentada, tenha solução. Isso é matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência. Vamos precisar usar operações de linhas para simplificar a matriz e descobrir essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para ver se o sistema tem solução, ou seja, se é consistente.
Passo 3
Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para isso:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Fazendo isso, temos:
Passo 4
Agora, observamos que as segunda e terceira linhas ficaram iguais nos coeficientes, então vamos subtrair a segunda linha da terceira linha para simplificar ainda mais:
Passo 5
Para que o sistema seja consistente, a última linha não pode representar uma equação impossível, como . Ou seja, precisamos que:
Isso simplifica para:
Resposta
Para que o sistema seja consistente, os valores devem satisfazer .