Encontre condições sobre e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar condições sobre os valores de , e para que um sistema de equações lineares, representado por uma matriz aumentada, tenha solução. Isso é matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência. Vamos precisar usar operações de linhas para simplificar a matriz e descobrir essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para ver se o sistema tem solução, ou seja, se é consistente.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Fazendo isso, temos:

Passo 4

Agora, observamos que as segunda e terceira linhas ficaram iguais nos coeficientes, então vamos subtrair a segunda linha da terceira linha para simplificar ainda mais:

Passo 5

Para que o sistema seja consistente, a última linha não pode representar uma equação impossível, como . Ou seja, precisamos que:
Isso simplifica para:

Resposta

Para que o sistema seja consistente, os valores devem satisfazer .

Exercícios relacionados

Use o método de Gauss-Jordan para colocar as matrizes a seguir na sua forma escalonada reduzida.
(a)
©
(b)
(d)
Considere a matriz . Encontre uma matriz , tal que , mas . Dica: comece encontrando uma matriz coluna tal que .
Determine quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .