Considere
, o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios
e
como:
Verifique se
é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. A gente define a multiplicação por escalar de forma usual:
Mas a soma de dois polinômios
e
está definida de um jeito diferente:
A gente precisa verificar se
é um espaço vetorial real considerando essas definições de soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto
com duas operações (soma e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfizer todos os axiomas de espaço vetorial. Vamos verificar cada um deles passo a passo.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento sob a adição
Isso significa que se a gente pegar dois elementos de
e somar, o resultado também tem que estar em
.
Vamos somar
e
:
O resultado é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais, então está dentro de
. Axioma 1 está satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Existência do elemento neutro para a adição
Existe um polinômio
em
tal que
para todo
?
Vamos encontrar
tal que:
Isso implica que
e
. Então,
é o elemento neutro. Axioma 2 está satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Existência do inverso aditivo
Para todo
, existe um
tal que
.
Se
, então queremos
tal que:
Isso requer
e
. Assim,
está em
. Axioma 3 está satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Comutatividade da adição
Para qualquer
,
.
Calculando
:
E
:
Como a adição dos números reais é comutativa, as duas expressões são iguais. Axioma 4 está satisfeito.
Passo 7
Axioma 5: Associatividade da adição
Para qualquer
,
.
Vamos verificar:
Como a adição é associativa nos números reais, as duas expressões são iguais. Axioma 5 está satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Existência de elementos inversos
Este axioma já foi tratado no Passo 3, onde mostramos que para todo
, existe
tal que
. Axioma 6 está satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Para todo
e
,
deve estar em
.
Dada a definição:
que ainda é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Então, está em
. Axioma 7 está satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Para
e
:
Por outro lado:
Como
e
, as duas expressões são iguais. Axioma 8 está satisfeito.
Passo 11
Axioma 9: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Para
e
:
Por outro lado:
As duas expressões são iguais. Axioma 9 está satisfeito.
Passo 12
Axioma 10: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Para
e
:
E também:
Como
e
, as duas expressões são iguais. Axioma 10 está satisfeito.
Passo 13
Axioma 11: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe um escalar
tal que
para todo
.
Calculando:
Então, Axioma 11 está satisfeito.
Resposta
Após verificar todos os axiomas dos espaços vetoriais, concluímos que
com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é de fato um espaço vetorial real.
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. Faça um esboço.
(g) .
(g)
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.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(a) Escreva a equação da reta
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas
. Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica