Considere , o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
No entanto, defina a soma de polinômios e como:
Verifique se é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. A gente define a multiplicação por escalar de forma usual:
Mas a soma de dois polinômios e está definida de um jeito diferente:
A gente precisa verificar se é um espaço vetorial real considerando essas definições de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto com duas operações (soma e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfizer todos os axiomas de espaço vetorial. Vamos verificar cada um deles passo a passo.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento sob a adição
Isso significa que se a gente pegar dois elementos de e somar, o resultado também tem que estar em .
Vamos somar e :
O resultado é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais, então está dentro de . Axioma 1 está satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Existência do elemento neutro para a adição
Existe um polinômio em tal que para todo ?
Vamos encontrar tal que:
Isso implica que e . Então, é o elemento neutro. Axioma 2 está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Existência do inverso aditivo
Para todo , existe um tal que .
Se , então queremos tal que:
Isso requer e . Assim, está em . Axioma 3 está satisfeito.

Passo 6

Axioma 4: Comutatividade da adição
Para qualquer , .
Calculando :
E :
Como a adição dos números reais é comutativa, as duas expressões são iguais. Axioma 4 está satisfeito.

Passo 7

Axioma 5: Associatividade da adição
Para qualquer , .
Vamos verificar:
Como a adição é associativa nos números reais, as duas expressões são iguais. Axioma 5 está satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Existência de elementos inversos
Este axioma já foi tratado no Passo 3, onde mostramos que para todo , existe tal que . Axioma 6 está satisfeito.

Passo 9

Axioma 7: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Para todo e , deve estar em .
Dada a definição:
que ainda é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Então, está em . Axioma 7 está satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Para e :
Por outro lado:
Como e , as duas expressões são iguais. Axioma 8 está satisfeito.

Passo 11

Axioma 9: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Para e :
Por outro lado:
As duas expressões são iguais. Axioma 9 está satisfeito.

Passo 12

Axioma 10: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Para e :
E também:
Como e , as duas expressões são iguais. Axioma 10 está satisfeito.

Passo 13

Axioma 11: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe um escalar tal que para todo .
Calculando:
Então, Axioma 11 está satisfeito.

Resposta

Após verificar todos os axiomas dos espaços vetoriais, concluímos que com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é de fato um espaço vetorial real.

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