Considere V=P1(R), o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. Defina a multiplicação por escalar da forma usual:
c p(x)=c(a0+a1 x)=(c a0)+(c a1) x, para c in R, p(x) in V
No entanto, defina a soma de polinômios p(x)=a0+a1 x e q(x)=b0+b1 x como:
p(x)+q(x)=(a1+b1)+(a0+b0) x
Verifique se V é um espaço vetorial real com as operações de soma e multiplicação por escalar fornecidas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. Temos o conjunto c cdot p(x) = c(a0 + a1x) = (c a0) + (c a1)x, para c in R, p(x) in V , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 1 com coeficientes reais. A gente define a multiplicação por escalar de forma usual:
p(x) + q(x) = (a1 + b1) + (a0 + b0)x
Mas a soma de dois polinômios e está definida de um jeito diferente:
A gente precisa verificar se é um espaço vetorial real considerando essas definições de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto com duas operações (soma e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfizer todos os axiomas de espaço vetorial. Vamos verificar cada um deles passo a passo.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento sob a adição
Isso significa que se a gente pegar dois elementos de p(x) + q(x) = (a1 + b1) + (a0 + b0)x e somar, o resultado também tem que estar em .
Vamos somar e :
O resultado é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais, então está dentro de . Axioma 1 está satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Existência do elemento neutro para a adição
Existe um polinômio p(x) + 0(x) = (a1 + c1) + (a0 + c0)x = a0 + a1x em tal que para todo ?
Vamos encontrar tal que:
Isso implica que e . Então, é o elemento neutro. Axioma 2 está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Existência do inverso aditivo
Para todo p(x) + (-p(x)) = (a1 + c1) + (a0 + c0)x = 0 + 0x , existe um tal que .
Se , então queremos tal que:
Isso requer e . Assim, está em . Axioma 3 está satisfeito.

Passo 6

Axioma 4: Comutatividade da adição
Para qualquer (a1 + b1) + (a0 + b0)x , (b1 + a1) + (b0 + a0)x .
Calculando :
E :
Como a adição dos números reais é comutativa, as duas expressões são iguais. Axioma 4 está satisfeito.

Passo 7

Axioma 5: Associatividade da adição
Para qualquer (p(x) + q(x)) + r(x) &= [(a1 + b1) + (a0 + b0)x] + (c0 + c1x) &= [(a1 + b1) + c1] + [(a0 + b0) + c0]x , p(x) + (q(x) + r(x)) &= [a1 + (b1 + c1)] + [a0 + (b0 + c0)]x .
Vamos verificar:
Como a adição é associativa nos números reais, as duas expressões são iguais. Axioma 5 está satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Existência de elementos inversos
Este axioma já foi tratado no Passo 3, onde mostramos que para todo , existe tal que . Axioma 6 está satisfeito.

Passo 9

Axioma 7: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Para todo c cdot p(x) = (c a0) + (c a1)x, e , deve estar em .
Dada a definição:
que ainda é um polinômio de grau no máximo 1 com coeficientes reais. Então, está em . Axioma 7 está satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Para c cdot (p(x) + q(x)) = c cdot [(a1 + b1) + (a0 + b0)x] = c(a1 + b1) + c(a0 + b0)x e c cdot p(x) + c cdot q(x) = (c a0 + c a1x) + (c b0 + c b1x) = (c a1 + c b1) + (c a0 + c b0)x :
Por outro lado:
Como e , as duas expressões são iguais. Axioma 8 está satisfeito.

Passo 11

Axioma 9: Distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Para (c + d) cdot p(x) = [(c + d) a0] + [(c + d) a1]x = c a0 + d a0 + c a1x + d a1x e c cdot p(x) + d cdot p(x) = (c a0 + c a1x) + (d a0 + d a1x) = (c a0 + d a0) + (c a1 + d a1)x :
Por outro lado:
As duas expressões são iguais. Axioma 9 está satisfeito.

Passo 12

Axioma 10: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Para c cdot (d cdot p(x)) = c cdot (d a0 + d a1x) = c d a0 + c d a1x e (c d) cdot p(x) = (c d) a0 + (c d) a1x :
E também:
Como e , as duas expressões são iguais. Axioma 10 está satisfeito.

Passo 13

Axioma 11: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Existe um escalar 1 cdot p(x) = 1 a0 + 1 a1x = a0 + a1x = p(x) tal que para todo .
Calculando:
Então, Axioma 11 está satisfeito.

Resposta

Após verificar todos os axiomas dos espaços vetoriais, concluímos que com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas é de fato um espaço vetorial real.

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