Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, transformar a equação pra uma forma mais simples, achar os focos, vértices, assíntotas (se tiverem), diretrizes (se tiverem) e ainda fazer um esboço. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os elementos da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para identificar melhor qual cônica estamos lidando. Vamos agrupar os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado nos termos de
. Para isso, pegamos os termos que envolvem
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Vamos rearranjar para isolar
:
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a direita, onde a equação geral é
.
Passo 6
Comparando com a forma padrão:
Aqui, temos:
- Centro em
-
→
Passo 7
Agora, vamos determinar os elementos da parábola:
-
Vértice:
-
Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está a
unidades à direita do vértice: -
Diretriz: É uma linha vertical
unidades à esquerda do vértice: -
Eixos de Simetria: A parábola tem um eixo de simetria horizontal, que é a linha
.
Passo 8
Como a parábola abre para a direita, não há assíntotas, pois elas são características de hipérboles e retas. Também, a diretriz já foi determinada.
Passo 9
Para fazer um esboço:
- Marque o vértice em
. - Desenhe o eixo de simetria na linha
. - Marque o foco em
. - Desenhe a diretriz na linha
. - Esboce a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz sem nunca tocá-la.
Resposta
A equação
representa uma parábola com vértice em
, foco em
, diretriz na reta
, e eixo de simetria na linha
. A parábola abre para a direita.
Exercícios relacionados
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Sejam
e
transformações lineares.
a) Prove que, se é injetora, então
também é injetora.
a) Prove que, se