Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
(d) y^2-4 x+10 y+13=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, transformar a equação pra uma forma mais simples, achar os focos, vértices, assíntotas (se tiverem), diretrizes (se tiverem) e ainda fazer um esboço. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os elementos da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para identificar melhor qual cônica estamos lidando. Vamos agrupar os termos de y^2 + 10y - 4x + 13 = 0 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de y^2 + 10y . Para isso, pegamos os termos que envolvem y^2 + 10y + 25 - 25 = (y + 5)^2 - 25 :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
(y + 5)^2 - 25 - 4x + 13 = 0
Simplificando os termos constantes:
(y + 5)^2 - 25 + 13 - 4x = 0
(y + 5)^2 - 12 - 4x = 0
(y + 5)^2 = 4x + 12

Passo 5

Vamos rearranjar para isolar (y + 5)^2 = 4(x + 3) :
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a direita, onde a equação geral é .

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
(y - (-5))^2 = 4 cdot 1 cdot (x - (-3))
Aqui, temos:
  • Centro em

Passo 7

Agora, vamos determinar os elementos da parábola:
  • Vértice: F = (h + p, k) = (-3 + 1, -5) = (-2, -5)
  • Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está a x = h - p = -3 - 1 = -4 unidades à direita do vértice:
  • Diretriz: É uma linha vertical unidades à esquerda do vértice:
  • Eixos de Simetria: A parábola tem um eixo de simetria horizontal, que é a linha .

Passo 8

Como a parábola abre para a direita, não há assíntotas, pois elas são características de hipérboles e retas. Também, a diretriz já foi determinada.

Passo 9

Para fazer um esboço:
  1. Marque o vértice em .
  2. Desenhe o eixo de simetria na linha .
  3. Marque o foco em .
  4. Desenhe a diretriz na linha .
  5. Esboce a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz sem nunca tocá-la.

Resposta

A equação representa uma parábola com vértice em , foco em , diretriz na reta , e eixo de simetria na linha . A parábola abre para a direita.

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