Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é identificar que tipo de cônica é essa, transformar a equação pra uma forma mais simples, achar os focos, vértices, assíntotas (se tiverem), diretrizes (se tiverem) e ainda fazer um esboço. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os elementos da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para identificar melhor qual cônica estamos lidando. Vamos agrupar os termos de e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de . Para isso, pegamos os termos que envolvem :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Vamos rearranjar para isolar :
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a direita, onde a equação geral é .

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
Aqui, temos:
  • Centro em

Passo 7

Agora, vamos determinar os elementos da parábola:
  • Vértice:
  • Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está a unidades à direita do vértice:
  • Diretriz: É uma linha vertical unidades à esquerda do vértice:
  • Eixos de Simetria: A parábola tem um eixo de simetria horizontal, que é a linha .

Passo 8

Como a parábola abre para a direita, não há assíntotas, pois elas são características de hipérboles e retas. Também, a diretriz já foi determinada.

Passo 9

Para fazer um esboço:
  1. Marque o vértice em .
  2. Desenhe o eixo de simetria na linha .
  3. Marque o foco em .
  4. Desenhe a diretriz na linha .
  5. Esboce a parábola abrindo para a direita, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz sem nunca tocá-la.

Resposta

A equação representa uma parábola com vértice em , foco em , diretriz na reta , e eixo de simetria na linha . A parábola abre para a direita.

Exercícios relacionados

Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Sejam e transformações lineares.
a) Prove que, se é injetora, então também é injetora.