Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação dada. Isso envolve identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e reescrever a equação de um jeito mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado e entender um pouquinho sobre as cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Vamos começar completando o quadrado para os termos de
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Primeiro, fatora o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 25:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
:
Completando o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 16:
Passo 5
Substituímos as expressões completas de
e
de volta na equação original:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos tudo por 400:
Passo 7
Essa é a equação padrão de uma elipse, onde:
- O centro está em
. - O semi-eixo maior
(na direção ). - O semi-eixo menor
(na direção ).
Resposta
A curva é uma elipse com centro em
, semi-eixo horizontal de comprimento 4 e semi-eixo vertical de comprimento 5. Para esboçar:
- Marque o centro no plano
. - A partir do centro, vá 4 unidades para os lados em
e 5 unidades para cima e para baixo em para determinar os vértices. - Desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.
Assim, você terá o esboço da elipse correspondente à equação dada.
Exercícios relacionados
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas
. Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(a) Escreva a equação da reta
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(d) .
(d)