Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
25 x^2+75 x-9754+16 y^2-80 y=0
© Esboce a curva no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação dada. Isso envolve identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e reescrever a equação de um jeito mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado e entender um pouquinho sobre as cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 25x^2 + 75x + 16y^2 - 80y - 9754 = 0 e de :

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para os termos de 25x^2 + 75x = 25(x^2 + 3x) . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Primeiro, fatora o coeficiente de (32)^2 = 94 :
25(x^2 + 3x + 94 - 94) = 25((x + 32)^2 - 94)
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos metade do coeficiente de 25(x + 32)^2 - 2254 , que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 25:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 16y^2 - 80y = 16(y^2 - 5y) :
(-52)^2 = 254
Completando o quadrado, pegamos metade do coeficiente de 16(y^2 - 5y + 254 - 254) = 16((y - 52)^2 - 254) , que é 16(y - 52)^2 - 100 , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 16:

Passo 5

Substituímos as expressões completas de 25(x + 32)^2 - 2254 + 16(y - 52)^2 - 100 - 9754 = 0 e -2254 - 100 - 9754 = -225 + 400 + 9754 = -16004 = -400 de volta na equação original:
25(x + 32)^2 + 16(y - 52)^2 = 400
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos tudo por 400:
(x + 32)^216 + (y - 52)^225 = 1

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma elipse, onde:
  • O centro está em .
  • O semi-eixo maior (na direção ).
  • O semi-eixo menor (na direção ).

Resposta

A curva é uma elipse com centro em , semi-eixo horizontal de comprimento 4 e semi-eixo vertical de comprimento 5. Para esboçar:
  1. Marque o centro no plano .
  2. A partir do centro, vá 4 unidades para os lados em e 5 unidades para cima e para baixo em para determinar os vértices.
  3. Desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.
Assim, você terá o esboço da elipse correspondente à equação dada.

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