Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da equação dada. Isso envolve identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e reescrever a equação de um jeito mais fácil de trabalhar. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado e entender um pouquinho sobre as cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e de :

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para os termos de . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da cônica.
Primeiro, fatora o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para isso, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 25:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de :
Completando o quadrado, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parêntese:
Distribuindo o 16:

Passo 5

Substituímos as expressões completas de e de volta na equação original:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos tudo por 400:

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma elipse, onde:
  • O centro está em .
  • O semi-eixo maior (na direção ).
  • O semi-eixo menor (na direção ).

Resposta

A curva é uma elipse com centro em , semi-eixo horizontal de comprimento 4 e semi-eixo vertical de comprimento 5. Para esboçar:
  1. Marque o centro no plano .
  2. A partir do centro, vá 4 unidades para os lados em e 5 unidades para cima e para baixo em para determinar os vértices.
  3. Desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.
Assim, você terá o esboço da elipse correspondente à equação dada.

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Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).
Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(d) .