Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos a equação de uma cônica no plano xy:
x^2 + 2xy + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0
Nosso objetivo é encontrar uma mudança de coordenadas que coloque essa equação na forma reduzida e, assim, identificar qual tipo de cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre transformação de coordenadas e classificação de cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer a forma geral da equação da cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Comparando com a nossa equação:
A = 1, B = 2, C = 1, D = 8, E = -8, F = 16
Observamos que há um termo xy, o que indica que os eixos da cônica estão rotacionados em relação aos eixos coordenados originais. Para simplificar, queremos eliminar esse termo.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, vamos realizar uma rotação dos eixos. A fórmula para encontrar o ângulo theta de rotação que elimina o termo xy é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores:
tan(2theta) = 21 - 1 = 20
Como a divisão por zero não é definida, isso implica que 2theta = 90^circ, ou seja:
theta = 45^circ

Passo 4

Com o ângulo de rotação theta = 45^circ, definimos as novas coordenadas (x', y') em relação às antigas (x, y) através das seguintes relações:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Sabendo que cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22, substituímos na equação:
x = raiz22x' - raiz22y'
y = raiz22x' + raiz22y'

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
( raiz22x' - raiz22y' )^2 + 2( raiz22x' - raiz22y' )( raiz22x' + raiz22y' ) + ( raiz22x' + raiz22y' )^2 + 8( raiz22x' - raiz22y' ) - 8( raiz22x' + raiz22y' ) + 16 = 0
Simplificando cada termo:
  1. Expande os quadrados e multiplica os termos.
  2. Observa que os termos cruzados ( x'y') se cancelarão devido à rotação adequada.
  3. Agrupa os termos semelhantes.
Após simplificar, a equação se torna:
2x'^2 - 8raiz2y' + 16 = 0

Passo 6

Agora, vamos organizar a equação na forma reduzida. Primeiramente, isolamos os termos:
2x'^2 - 8raiz2y' = -16
Dividindo todos os termos por 2:
x'^2 - 4raiz2y' = -8
Então, isolamos y':
x'^2 = 4raiz2y' - 8
y' = 14raiz2x'^2 + 2

Passo 7

A equação y' = 14raiz2x'^2 + 2 é a forma reduzida de uma parábola, onde o termo x'^2 indica que a cônica é uma parábola.

Resposta

Após realizar a rotação de 45^circ e simplificar a equação, a cônica representada é uma parábola na forma reduzida.

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