Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(a) Determine mudanças de coordenadas apropriadas, para colocá-las na forma reduzida e identifique a cônica representada pela equação.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos a equação de uma cônica no plano
:
Nosso objetivo é encontrar uma mudança de coordenadas que coloque essa equação na forma reduzida e, assim, identificar qual tipo de cônica estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre transformação de coordenadas e classificação de cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer a forma geral da equação da cônica:
Comparando com a nossa equação:
Observamos que há um termo
, o que indica que os eixos da cônica estão rotacionados em relação aos eixos coordenados originais. Para simplificar, queremos eliminar esse termo.
Passo 3
Para eliminar o termo
, vamos realizar uma rotação dos eixos. A fórmula para encontrar o ângulo
de rotação que elimina o termo
é:
Substituindo os valores:
Como a divisão por zero não é definida, isso implica que
, ou seja:
Passo 4
Com o ângulo de rotação
, definimos as novas coordenadas
em relação às antigas
através das seguintes relações:
Sabendo que
, substituímos na equação:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Simplificando cada termo:
- Expande os quadrados e multiplica os termos.
- Observa que os termos cruzados (
) se cancelarão devido à rotação adequada. - Agrupa os termos semelhantes.
Após simplificar, a equação se torna:
Passo 6
Agora, vamos organizar a equação na forma reduzida. Primeiramente, isolamos os termos:
Dividindo todos os termos por 2:
Então, isolamos
:
Passo 7
A equação
é a forma reduzida de uma parábola, onde o termo
indica que a cônica é uma parábola.
Resposta
Após realizar a rotação de
e simplificar a equação, a cônica representada é uma parábola na forma reduzida.
Exercícios relacionados
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(d) .
(d)
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas .
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
Sejam
e
transformações lineares.
a) Prove que, se é injetora, então
também é injetora.
a) Prove que, se
Escreva a equação reduzida das hipérboles a seguir, dados
(d) os focos e
.
(d) os focos