Uma hipérbole tem seu centro em C=(3,4), um vértice em (3,5) e as assíntotas são y-4= pm 2(x-3).
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas x y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! A gente tem uma hipérbole com o centro no ponto , um vértice em e as assíntotas dadas por . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos dessa hipérbole no sistema de coordenadas . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de hipérboles, como a identificação dos parâmetros , e , que nos ajudarão a determinar essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro da hipérbole é o ponto a = |yvértice - k| = |5 - 4| = 1 . No nosso caso, e . Agora, como temos um vértice em , isso significa que a hipérbole é vertical, ou seja, abre para cima e para baixo. A distância do centro até o vértice é representada por . Vamos calcular :
é
Então, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as assíntotas da hipérbole, que são dadas por y - k = pm ab(x - h) . A equação das assíntotas de uma hipérbole vertical é geralmente:
ab = 2 Rightarrow b = a2 = 12
Comparando com a nossa equação , vemos que:
Então, .

Passo 4

Com os valores de c^2 = a^2 + b^2 e c^2 = 1^2 + (12)^2 = 1 + 14 = 54 Rightarrow c = raiz52 encontrados, podemos agora determinar o valor de , que é a distância do centro até cada foco. A relação entre esses parâmetros é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos Vértice 1 = (3, 4 + 1) = (3, 5) e Vértice 2 = (3, 4 - 1) = (3, 3) , podemos encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos.
  • Vértices: Como a hipérbole é vertical e um vértice está em Foco 1 = (3, 4 + raiz52) , o outro vértice estará na direção oposta em uma distância de Foco 2 = (3, 4 - raiz52) do centro. Então:
é
é
  • Focos: Os focos também estão alinhados na direção vertical, a uma distância de do centro:

Resposta

Os vértices da hipérbole estão nos pontos e . Os focos estão localizados em e .

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