Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
.
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! A gente tem uma hipérbole com o centro no ponto
, um vértice em
e as assíntotas dadas por
. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos dessa hipérbole no sistema de coordenadas
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de hipérboles, como a identificação dos parâmetros
,
e
, que nos ajudarão a determinar essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro da hipérbole é o ponto
. No nosso caso,
e
. Agora, como temos um vértice em
, isso significa que a hipérbole é vertical, ou seja, abre para cima e para baixo. A distância do centro até o vértice é representada por
. Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as assíntotas da hipérbole, que são dadas por
. A equação das assíntotas de uma hipérbole vertical é geralmente:
Comparando com a nossa equação
, vemos que:
Então,
.
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos agora determinar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. A relação entre esses parâmetros é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos.
- Vértices: Como a hipérbole é vertical e um vértice está em
, o outro vértice estará na direção oposta em uma distância de do centro. Então:
- Focos: Os focos também estão alinhados na direção vertical, a uma distância de
do centro:
Resposta
Os vértices da hipérbole estão nos pontos
e
. Os focos estão localizados em
e
.