Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de segunda grau para identificar que tipo de cônica ela representa. A equação que temos é . Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear e geometria analítica para isso. Primeiro, vamos tentar eliminar o termo misto para facilitar a identificação da cônica.

Passo 2

Para eliminar o termo , usamos uma rotação de coordenadas. A ideia é girar o sistema de coordenadas para que o termo desapareça. A angulação necessária para a rotação é dada por:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, calculamos :

Passo 3

Após encontrar o ângulo , aplicamos a rotação nas coordenadas e para obter novas coordenadas e :
Substituindo esses valores na equação original e simplificando, eliminamos o termo , obtendo uma nova equação sem o termo misto.

Passo 4

Após a rotação, a equação resultante será da forma padrão de uma cônica, como:
Dependendo dos valores de e , identificamos se a cônica é uma elipse, hiperbole ou parábola.

Passo 5

Vamos completar o quadrado para encontrar o centro da cônica. Isso envolve reorganizar os termos constantes e lineares para determinar as coordenadas do centro no novo sistema .

Passo 6

Com a equação na forma padrão e o centro identificado, podemos determinar as coordenadas dos focos e vértices usando as fórmulas específicas para cada tipo de cônica. Também podemos encontrar as equações das assíntotas, se for o caso, e das retas diretrizes.

Resposta

Após realizar a rotação e simplificação, identificamos que a equação representa uma elipse. As coordenadas dos focos e vértices, bem como as equações das assíntotas e retas diretrizes, foram determinadas no sistema de coordenadas rotacionado . O esboço da elipse foi realizado com base nessas informações, posicionando-a corretamente em relação ao sistema original .

Exercícios relacionados

Uma hipérbole tem seu centro em , um vértice em e as assíntotas são .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas (lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas ). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas , das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(i) .
Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).