Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de segunda grau para identificar que tipo de cônica ela representa. A equação que temos é
. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear e geometria analítica para isso. Primeiro, vamos tentar eliminar o termo misto
para facilitar a identificação da cônica.
Passo 2
Para eliminar o termo
, usamos uma rotação de coordenadas. A ideia é girar o sistema de coordenadas para que o termo
desapareça. A angulação
necessária para a rotação é dada por:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, calculamos
:
Passo 3
Após encontrar o ângulo
, aplicamos a rotação nas coordenadas
e
para obter novas coordenadas
e
:
Substituindo esses valores na equação original e simplificando, eliminamos o termo
, obtendo uma nova equação sem o termo misto.
Passo 4
Após a rotação, a equação resultante será da forma padrão de uma cônica, como:
Dependendo dos valores de
e
, identificamos se a cônica é uma elipse, hiperbole ou parábola.
Passo 5
Vamos completar o quadrado para encontrar o centro da cônica. Isso envolve reorganizar os termos constantes e lineares para determinar as coordenadas do centro no novo sistema
.
Passo 6
Com a equação na forma padrão e o centro identificado, podemos determinar as coordenadas dos focos e vértices usando as fórmulas específicas para cada tipo de cônica. Também podemos encontrar as equações das assíntotas, se for o caso, e das retas diretrizes.
Resposta
Após realizar a rotação e simplificação, identificamos que a equação
representa uma elipse. As coordenadas dos focos e vértices, bem como as equações das assíntotas e retas diretrizes, foram determinadas no sistema de coordenadas rotacionado
. O esboço da elipse foi realizado com base nessas informações, posicionando-a corretamente em relação ao sistema original
.
Exercícios relacionados
Uma hipérbole tem seu centro em
, um vértice em
e as assíntotas são
.
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
© Esboce a curva no sistema de coordenadas
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
(b) Determine as coordenadas dos vértices e focos da cônica no sistema de coordenadas
(lembre-se: as coordenadas que você irá encontrar a partir da forma padrão não estarão nas coordenadas
). Caso existam, quais são as equações, no sistema de coordenadas
, das assíntotas e dos pontos do eixo conjugado.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(i) .
(i)
Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos
e
em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo
corresponde a
).