Considere a cônica cuja equação no plano
é dada por
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos
e
em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo
corresponde a
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano
:
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa cônica toca (ou seja, tangencia) os eixos
e
em exatamente um ponto cada. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas e condições de tangência. Vamos precisar substituir os valores dos eixos na equação da cônica e analisar as soluções resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o eixo
corresponde a
. Para encontrar onde a cônica intercepta ou tangencia o eixo
, substituímos
por
na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Para saber se a cônica tangencia o eixo
, precisamos verificar se essa equação tem exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante (
) da equação quadrática é igual a zero. O discriminante é dado por:
Onde
,
, e
. Calculando:
Passo 4
Como o discriminante
, isso significa que a equação tem exatamente uma solução real. Isso confirma que a cônica tangencia o eixo
em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo
é
.
Passo 5
Agora, vamos repetir o processo para o eixo
. O eixo
corresponde a
. Substituímos
por
na equação da cônica:
Simplificando:
Passo 6
Novamente, temos uma equação quadrática, agora em
:
Vamos calcular o discriminante para verificar se há uma única solução real:
Passo 7
Com
, a equação tem exatamente uma solução real, o que significa que a cônica tangencia o eixo
em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo
é
.
Resposta
A cônica tangencia o eixo
no ponto
e o eixo
no ponto
.