Considere a cônica cuja equação no plano x y é dada por
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos x e y em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo x corresponde a y=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano xy:
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y+16=0
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa cônica toca (ou seja, tangencia) os eixos x e y em exatamente um ponto cada. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas e condições de tangência. Vamos precisar substituir os valores dos eixos na equação da cônica e analisar as soluções resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o eixo x corresponde a y = 0. Para encontrar onde a cônica intercepta ou tangencia o eixo x, substituímos y por 0 na equação:
x^2 + 2x(0) + (0)^2 + 8x - 8(0) + 16 = 0
Simplificando:
x^2 + 8x + 16 = 0

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática em x:
x^2 + 8x + 16 = 0
Para saber se a cônica tangencia o eixo x, precisamos verificar se essa equação tem exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante ( De) da equação quadrática é igual a zero. O discriminante é dado por:
De
Onde a = 1, b = 8, e c = 16. Calculando:
De

Passo 4

Como o discriminante De, isso significa que a equação tem exatamente uma solução real. Isso confirma que a cônica tangencia o eixo x em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
x = -b2a = -82 times 1 = -4
Então, o ponto de tangência no eixo x é (-4, 0).

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para o eixo y. O eixo y corresponde a x = 0. Substituímos x por 0 na equação da cônica:
(0)^2 + 2(0)y + y^2 + 8(0) - 8y + 16 = 0
Simplificando:
y^2 - 8y + 16 = 0

Passo 6

Novamente, temos uma equação quadrática, agora em y:
y^2 - 8y + 16 = 0
Vamos calcular o discriminante para verificar se há uma única solução real:
De

Passo 7

Com De, a equação tem exatamente uma solução real, o que significa que a cônica tangencia o eixo y em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
y = 82 times 1 = 4
Então, o ponto de tangência no eixo y é (0, 4).

Resposta

A cônica tangencia o eixo x no ponto (-4, 0) e o eixo y no ponto (0, 4).

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