Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Verifique que esta cônica tangencia os eixos e em dois pontos. Determine-os (sugestão: para que a curva tangêncie, significa que ela toca os eixos em exatamente 1 ponto. Lembre-se, eixo corresponde a ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano :
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa cônica toca (ou seja, tangencia) os eixos e em exatamente um ponto cada. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas e condições de tangência. Vamos precisar substituir os valores dos eixos na equação da cônica e analisar as soluções resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o eixo corresponde a . Para encontrar onde a cônica intercepta ou tangencia o eixo , substituímos por na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática em :
Para saber se a cônica tangencia o eixo , precisamos verificar se essa equação tem exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante ( ) da equação quadrática é igual a zero. O discriminante é dado por:
Onde , , e . Calculando:

Passo 4

Como o discriminante , isso significa que a equação tem exatamente uma solução real. Isso confirma que a cônica tangencia o eixo em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo é .

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para o eixo . O eixo corresponde a . Substituímos por na equação da cônica:
Simplificando:

Passo 6

Novamente, temos uma equação quadrática, agora em :
Vamos calcular o discriminante para verificar se há uma única solução real:

Passo 7

Com , a equação tem exatamente uma solução real, o que significa que a cônica tangencia o eixo em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo é .

Resposta

A cônica tangencia o eixo no ponto e o eixo no ponto .

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Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(i) .
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(f) .
Escolha apenas uma entre as questões abaixo e resolva:
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(2.2) Mostre que se e são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base de para satisfaz , onde é a matriz identidade.
Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? ; adição;