Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica no plano :
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa cônica toca (ou seja, tangencia) os eixos e em exatamente um ponto cada. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre cônicas e condições de tangência. Vamos precisar substituir os valores dos eixos na equação da cônica e analisar as soluções resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o eixo corresponde a . Para encontrar onde a cônica intercepta ou tangencia o eixo , substituímos por na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática em :
Para saber se a cônica tangencia o eixo , precisamos verificar se essa equação tem exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante () da equação quadrática é igual a zero. O discriminante é dado por:
Onde , , e . Calculando:
Passo 4
Como o discriminante , isso significa que a equação tem exatamente uma solução real. Isso confirma que a cônica tangencia o eixo em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo é .
Passo 5
Agora, vamos repetir o processo para o eixo . O eixo corresponde a . Substituímos por na equação da cônica:
Simplificando:
Passo 6
Novamente, temos uma equação quadrática, agora em :
Vamos calcular o discriminante para verificar se há uma única solução real:
Passo 7
Com , a equação tem exatamente uma solução real, o que significa que a cônica tangencia o eixo em um único ponto. Vamos encontrar esse ponto.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, o ponto de tangência no eixo é .
Resposta
A cônica tangencia o eixo no ponto e o eixo no ponto .