Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de cônica está representada pela equação . Para isso, vamos precisar usar a teoria das cônicas, especialmente como lidar com termos mistos como o . Vamos dar uma olhada em como simplificar essa equação para uma forma mais fácil de trabalhar e identificar o tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais fácil de visualizar:
Aqui, temos termos quadráticos, lineares e um termo constante. O termo indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica.
Passo 3
Para eliminar o termo , vamos realizar uma rotação das coordenadas. A fórmula para encontrar o ângulo de rotação é:
Onde , e . Substituindo esses valores:
Então,
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos fazer a substituição das coordenadas usando o ângulo :
Substituindo esses valores na equação original e simplificando, o termo será eliminado, transformando a equação em uma forma padrão mais fácil de identificar.
Passo 5
Após a substituição e simplificação, a equação fica na forma:
Vamos completar o quadrado para ambos os e :
Para :
Completar o quadrado adicionando e subtraindo .
Para :
Completar o quadrado adicionando e subtraindo .
Passo 6
Após completar o quadrado, a equação terá a forma padrão de uma elipse ou hipérbole, dependendo dos sinais dos coeficientes. Analisando os coeficientes de e , se eles tiverem o mesmo sinal, é uma elipse; se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
Passo 7
Vamos calcular os vértices e focos da cônica. Para isso, identificamos o centro da cônica a partir dos termos lineares completados e usamos as fórmulas específicas para elipses ou hipérboles.
Para uma elipse:
Onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
Para uma hipérbole:
Onde é o semi-eixo real e é o semi-eixo imaginário.
Passo 8
As assíntotas só existem para hipérboles. Caso tenhamos identificado a cônica como hipérbole, as equações das assíntotas são dadas por:
As retas diretrizes também são características das hipérboles e podem ser calculadas a partir das fórmulas específicas.
Passo 9
Finalmente, com todas as informações obtidas, podemos esboçar a cônica no sistema de coordenadas original , levando em conta a rotação realizada no início.
Resposta
A cônica representada pela equação é uma elipse rotacionada em aproximadamente em relação aos eixos coordenados. Os vértices e focos foram determinados após eliminar o termo e converter a equação para a forma padrão. O esboço da elipse leva em consideração a rotação e a posição dos vértices no sistema de coordenadas original.