Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
(i)
.
(j)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau que representa uma cônica. Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa (parábola, elipse, hipérbole ou círculo), fazer algumas mudanças de coordenadas para simplificar a equação e, assim, encontrar informações importantes como focos, vértices, assíntotas e retas diretrizes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como identificação de cônicas, mudança de coordenadas e análise de suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Nossa missão é identificar a cônica representada por essa equação. Para isso, vamos reorganizar os termos para facilitar a identificação.
Passo 3
Vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, percebemos que temos termos quadráticos misturados (
,
e
), o que indica que essa cônica pode ser uma elipse inclinada ou uma hipérbole.
Passo 4
Para identificar exatamente qual cônica é essa, vamos calcular o discriminante da cônica. A fórmula do discriminante
para uma equação geral do segundo grau
é:
Vamos identificar os coeficientes na nossa equação:
Calculando o discriminante:
Um discriminante igual a zero indica que a cônica é um parábola. Porém, nesse caso, a presença do termo
sugere uma rotação da cônica no plano.
Passo 5
Para simplificar a equação e eliminar o termo cruzado
, vamos realizar uma mudança de coordenadas que gira o sistema de eixos. A rotação de coordenadas é feita usando o ângulo
que elimina o termo
.
A fórmula para eliminar o termo
é:
Substituindo os valores:
Isso nos indica que
, então
ou 45 graus.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a rotação de 45 graus nas coordenadas. As transformações de coordenadas são:
Com
:
Vamos substituir essas expressões na equação original.
Passo 7
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.
Passo 8
Calculando cada termo:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 9
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Isso resulta em:
Ou seja:
Passo 10
Vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 2:
Passo 11
Observamos que temos uma equação que representa uma parábola com o eixo inclinado devido à presença dos termos
e
. Para simplificar ainda mais, vamos completar o quadrado para os termos em
.
Rearranjando a equação:
Completando o quadrado para os termos em
:
Simplificando:
Passo 12
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Essa é a forma reduzida da equação após a rotação das coordenadas.
Passo 13
Com a equação na forma reduzida, podemos identificar que se trata de uma parábola com orientação no eixo
. A forma geral de uma parábola é:
Comparando com nossa equação:
Podemos identificar que:
Passo 14
Agora, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice
na forma reduzida
é dado por
:
Para encontrar as coordenadas no sistema original, precisamos reverter a rotação que fizemos. Lembrando que:
Substituindo
e
do vértice:
Então, o vértice no sistema original é
.
Passo 15
Para uma parábola, precisamos identificar a direção em que ela abre, o foco e a diretriz. A parábola está na forma
, indicando que abre na direção positiva ou negativa de
dependendo do sinal de
. Aqui,
, então abre na direção positiva de
.
A distância do vértice ao foco
é dada por:
Substituindo
:
Então, o foco
está a
unidades na direção positiva de
a partir do vértice.
Coordenadas do foco no sistema rotacionado:
Voltando para o sistema original:
Portanto, o foco no sistema original é
.
Passo 16
A diretriz da parábola é uma reta perpendicular ao eixo de abertura, situada a uma distância
do vértice na direção oposta do foco. Como a parábola abre na direção positiva de
, a diretriz estará na direção negativa de
:
Equação da diretriz no sistema rotacionado:
Convertendo para o sistema original:
Portanto, a equação da diretriz no sistema original é
.
Passo 17
Como trata-se de uma parábola, não há assíntotas ou focos adicionais além do que já identificamos. Agora, vamos resumir as informações encontradas:
- Cônica: Parábola
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Abertura: Na direção positiva de
, que no sistema original está inclinada.
Resposta
A equação
representa uma parábola inclinada. Após uma rotação de 45 graus, encontramos que o vértice está em
, o foco em
e a diretriz é a reta
. A parábola abre na direção positiva de
, resultando em uma orientação inclinada no sistema de coordenadas original.
Exercícios relacionados
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(e)
(e)
Sejam
una transformação linear e
seus autovalores. Sabendo que
e
são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a
.
a) Considere
. Calcule
onde
e
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(b)
(b)