Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
(a) -x^2-y^2+2 x y+2 x+2=0.
(b) 9 x^2-4 y^2-18 x-16 y-7=0.
© x^2+y^2+2 x y+2 x+4 y+2=9.
(d) y^2-4 x+10 y+13=0.
(e) 5 x^2+5 y^2-6 x y-4 x-4 y-4=0.
(f) x^2+4 y^2+4 x y+2 y+1=0.
(g) 2 x^2-y^2-6 x y=0.
(h) 7 x^2-y^2+6 x y-2 x-10 y-9=0.
(i) 25 x^2+4 y^2+20 x y+30 x+12 y-20=0.
(j) 7 x^2-6 raiz3 x y+13 y^2-4 raiz3 x-4 y-12=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau que representa uma cônica. Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa (parábola, elipse, hipérbole ou círculo), fazer algumas mudanças de coordenadas para simplificar a equação e, assim, encontrar informações importantes como focos, vértices, assíntotas e retas diretrizes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como identificação de cônicas, mudança de coordenadas e análise de suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
- x^2 - y^2 + 2xy + 2x + 2 = 0
Nossa missão é identificar a cônica representada por essa equação. Para isso, vamos reorganizar os termos para facilitar a identificação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
- x^2 + 2xy - y^2 + 2x + 2 = 0
Agora, percebemos que temos termos quadráticos misturados ( , e ), o que indica que essa cônica pode ser uma elipse inclinada ou uma hipérbole.

Passo 4

Para identificar exatamente qual cônica é essa, vamos calcular o discriminante da cônica. A fórmula do discriminante De para uma equação geral do segundo grau A = -1, B = 2, C = -1 é:
De
Vamos identificar os coeficientes na nossa equação:
Calculando o discriminante:
Um discriminante igual a zero indica que a cônica é um parábola. Porém, nesse caso, a presença do termo sugere uma rotação da cônica no plano.

Passo 5

Para simplificar a equação e eliminar o termo cruzado tan(2theta) = BA - C , vamos realizar uma mudança de coordenadas que gira o sistema de eixos. A rotação de coordenadas é feita usando o ângulo tan(2theta) = 2-1 - (-1) = 20 que elimina o termo .
A fórmula para eliminar o termo é:
Substituindo os valores:
Isso nos indica que , então ou 45 graus.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a rotação de 45 graus nas coordenadas. As transformações de coordenadas são:
x = x' cos theta - y' sin theta
y = x' sin theta + y' cos theta
Com x = raiz22x' - raiz22y' :
y = raiz22x' + raiz22y'
Vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 7

Substituindo - ( raiz22x' - raiz22y' )^2 - ( raiz22x' + raiz22y' )^2 + 2 ( raiz22x' - raiz22y' ) ( raiz22x' + raiz22y' ) + 2 ( raiz22x' - raiz22y' ) + 2 = 0 e na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. - ( raiz22x' - raiz22y' )^2 = - ( 24x'^2 - 2 cdot 24x'y' + 24y'^2 ) = - ( 12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2 ) :
- ( raiz22x' + raiz22y' )^2 = - ( 24x'^2 + 2 cdot 24x'y' + 24y'^2 ) = - ( 12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2 )
  1. 2 ( raiz22x' - raiz22y' ) ( raiz22x' + raiz22y' ) = 2 ( 24x'^2 - 24y'^2 ) = 2 ( 12x'^2 - 12y'^2 ) = x'^2 - y'^2 :
2 ( raiz22x' - raiz22y' ) = raiz2x' - raiz2y'
  1. 2 :
  1. :
  1. :

Passo 9

Agora, somando todos os termos:
- ( 12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2 ) - ( 12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2 ) + x'^2 - y'^2 + raiz2x' - raiz2y' + 2 = 0
Simplificando:
- 12x'^2 + 12x'y' - 12y'^2 - 12x'^2 - 12x'y' - 12y'^2 + x'^2 - y'^2 + raiz2x' - raiz2y' + 2 = 0
Somando os termos semelhantes:
(-12x'^2 - 12x'^2 + x'^2) + (12x'y' - 12x'y') + (-12y'^2 - 12y'^2 - y'^2) + raiz2x' - raiz2y' + 2 = 0
Isso resulta em:
0x'^2 + 0x'y' - 2y'^2 + raiz2x' - raiz2y' + 2 = 0
Ou seja:
-2y'^2 + raiz2x' - raiz2y' + 2 = 0

Passo 10

Vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
-2y'^2 + raiz2x' - raiz2y' = -2
Multiplicando ambos os lados por 2y'^2 - raiz2x' + raiz2y' = 2 para simplificar:
2y'^2 = raiz2x' - raiz2y' + 2
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
y'^2 = raiz22x' - raiz22y' + 1
Dividindo tudo por 2:

Passo 11

Observamos que temos uma equação que representa uma parábola com o eixo inclinado devido à presença dos termos y'^2 + raiz22y' = raiz22x' + 1 e y'^2 + raiz22y' + ( raiz24 )^2 = raiz22x' + 1 + ( raiz24 )^2 . Para simplificar ainda mais, vamos completar o quadrado para os termos em ( y' + raiz24 )^2 = raiz22x' + 1 + 18 .
Rearranjando a equação:
( y' + raiz24 )^2 = raiz22x' + 98
Completando o quadrado para os termos em :
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos isolar ( y' + raiz24 )^2 - 98 = raiz22x' :
2raiz2 ( ( y' + raiz24 )^2 - 98 ) = x'
Multiplicando ambos os lados por x' = raiz2 ( y' + raiz24 )^2 - 9raiz24 :
Simplificando:
Essa é a forma reduzida da equação após a rotação das coordenadas.

Passo 13

Com a equação na forma reduzida, podemos identificar que se trata de uma parábola com orientação no eixo x' = a(y' - k)^2 + h . A forma geral de uma parábola é:
x' = raiz2 ( y' + raiz24 )^2 - 9raiz24
Comparando com nossa equação:
Podemos identificar que:

Passo 14

Agora, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice V' = ( -9raiz24, -raiz24 ) na forma reduzida x = raiz22x' - raiz22y' é dado por y = raiz22x' + raiz22y' :
x = raiz22 ( -9raiz24 ) - raiz22 ( -raiz24 ) = -94 + 14 = -2
Para encontrar as coordenadas no sistema original, precisamos reverter a rotação que fizemos. Lembrando que:
y = raiz22 ( -9raiz24 ) + raiz22 ( -raiz24 ) = -94 - 14 = -104 = -2.5
Substituindo e do vértice:
Então, o vértice no sistema original é .

Passo 15

Para uma parábola, precisamos identificar a direção em que ela abre, o foco e a diretriz. A parábola está na forma f = 14a , indicando que abre na direção positiva ou negativa de f = 14raiz2 = raiz28 dependendo do sinal de F' = ( -9raiz24 + raiz28, -raiz24 ) = ( -18raiz28 + raiz28, -raiz24 ) = ( -17raiz28, -raiz24 ) . Aqui, x = raiz22 ( -17raiz28 ) - raiz22 ( -raiz24 ) = -178 + 14 = -178 + 28 = -158 , então abre na direção positiva de y = raiz22 ( -17raiz28 ) + raiz22 ( -raiz24 ) = -178 - 14 = -178 - 28 = -198 .
A distância do vértice ao foco é dada por:
Substituindo :
Então, o foco está a unidades na direção positiva de a partir do vértice.
Coordenadas do foco no sistema rotacionado:
Voltando para o sistema original:
Portanto, o foco no sistema original é .

Passo 16

A diretriz da parábola é uma reta perpendicular ao eixo de abertura, situada a uma distância x' = h - f = -9raiz24 - raiz28 = -19raiz28 do vértice na direção oposta do foco. Como a parábola abre na direção positiva de x = raiz22 ( -19raiz28 ) - raiz22 cdot 0 = -198 , a diretriz estará na direção negativa de y = raiz22 ( -19raiz28 ) + raiz22 cdot 0 = -198 :
Equação da diretriz no sistema rotacionado:
Convertendo para o sistema original:
Portanto, a equação da diretriz no sistema original é .

Passo 17

Como trata-se de uma parábola, não há assíntotas ou focos adicionais além do que já identificamos. Agora, vamos resumir as informações encontradas:
  • Cônica: Parábola
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Abertura: Na direção positiva de , que no sistema original está inclinada.

Resposta

A equação representa uma parábola inclinada. Após uma rotação de 45 graus, encontramos que o vértice está em , o foco em e a diretriz é a reta . A parábola abre na direção positiva de , resultando em uma orientação inclinada no sistema de coordenadas original.

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