Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau que representa uma cônica. Nosso objetivo é descobrir qual cônica é essa (parábola, elipse, hipérbole ou círculo), fazer algumas mudanças de coordenadas para simplificar a equação e, assim, encontrar informações importantes como focos, vértices, assíntotas e retas diretrizes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como identificação de cônicas, mudança de coordenadas e análise de suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Nossa missão é identificar a cônica representada por essa equação. Para isso, vamos reorganizar os termos para facilitar a identificação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, percebemos que temos termos quadráticos misturados ( , e ), o que indica que essa cônica pode ser uma elipse inclinada ou uma hipérbole.

Passo 4

Para identificar exatamente qual cônica é essa, vamos calcular o discriminante da cônica. A fórmula do discriminante para uma equação geral do segundo grau é:
Vamos identificar os coeficientes na nossa equação:
Calculando o discriminante:
Um discriminante igual a zero indica que a cônica é um parábola. Porém, nesse caso, a presença do termo sugere uma rotação da cônica no plano.

Passo 5

Para simplificar a equação e eliminar o termo cruzado , vamos realizar uma mudança de coordenadas que gira o sistema de eixos. A rotação de coordenadas é feita usando o ângulo que elimina o termo .
A fórmula para eliminar o termo é:
Substituindo os valores:
Isso nos indica que , então ou 45 graus.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a rotação de 45 graus nas coordenadas. As transformações de coordenadas são:
Com :
Vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 7

Substituindo e na equação original:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 9

Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Isso resulta em:
Ou seja:

Passo 10

Vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 2:

Passo 11

Observamos que temos uma equação que representa uma parábola com o eixo inclinado devido à presença dos termos e . Para simplificar ainda mais, vamos completar o quadrado para os termos em .
Rearranjando a equação:
Completando o quadrado para os termos em :
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Essa é a forma reduzida da equação após a rotação das coordenadas.

Passo 13

Com a equação na forma reduzida, podemos identificar que se trata de uma parábola com orientação no eixo . A forma geral de uma parábola é:
Comparando com nossa equação:
Podemos identificar que:

Passo 14

Agora, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice na forma reduzida é dado por :
Para encontrar as coordenadas no sistema original, precisamos reverter a rotação que fizemos. Lembrando que:
Substituindo e do vértice:
Então, o vértice no sistema original é .

Passo 15

Para uma parábola, precisamos identificar a direção em que ela abre, o foco e a diretriz. A parábola está na forma , indicando que abre na direção positiva ou negativa de dependendo do sinal de . Aqui, , então abre na direção positiva de .
A distância do vértice ao foco é dada por:
Substituindo :
Então, o foco está a unidades na direção positiva de a partir do vértice.
Coordenadas do foco no sistema rotacionado:
Voltando para o sistema original:
Portanto, o foco no sistema original é .

Passo 16

A diretriz da parábola é uma reta perpendicular ao eixo de abertura, situada a uma distância do vértice na direção oposta do foco. Como a parábola abre na direção positiva de , a diretriz estará na direção negativa de :
Equação da diretriz no sistema rotacionado:
Convertendo para o sistema original:
Portanto, a equação da diretriz no sistema original é .

Passo 17

Como trata-se de uma parábola, não há assíntotas ou focos adicionais além do que já identificamos. Agora, vamos resumir as informações encontradas:
  • Cônica: Parábola
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Abertura: Na direção positiva de , que no sistema original está inclinada.

Resposta

A equação representa uma parábola inclinada. Após uma rotação de 45 graus, encontramos que o vértice está em , o foco em e a diretriz é a reta . A parábola abre na direção positiva de , resultando em uma orientação inclinada no sistema de coordenadas original.

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(e)
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(b)