Sejam T: R^2 R^2 una transformação linear e lambda1=1, lambda2=6 seus autovalores. Sabendo que u1=binom21 e u2=binom1-2 são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear 2 1 com dois autovalores, 1 -2 e , e seus respectivos autovetores e . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação .
Para resolver isso, vamos usar o fato de que se conhecemos os autovalores e os autovetores de uma transformação linear, podemos construir a matriz associada a ela usando uma matriz diagonal e a matriz formada pelos autovetores.

Passo 2

Vamos começar formando uma matriz P = 2 & 1 1 & -2 cujas colunas são os autovetores e . Assim:
Essa matriz será usada para mudar de base, ou seja, para passar da base dos autovetores para a base padrão de .

Passo 3

Em seguida, criamos uma matriz diagonal D = 1 & 0 0 & 6 que tem os autovalores nos termos da diagonal principal. Como e , temos:
A matriz diagonal simplifica a aplicação da transformação linear, pois cada autovalor está associado diretamente a seu autovetor correspondente.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz a & b c & d , que denotaremos por P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a . A inversa de uma matriz Determinante de P = (2)(-2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5 P^-1 = 1-5 -2 & -1 -1 & 2 = 25 & 15 15 & -25 é dada por:
Calculando para a nossa matriz :
Então,

Passo 5

Finalmente, para encontrar a matriz associada à transformação linear A = P D P^-1 , usamos a fórmula:
A = 2 & 1 1 & -2 1 & 0 0 & 6 25 & 15 15 & -25
Multiplicando as matrizes:
P D = 2 & 1 1 & -2 1 & 0 0 & 6 = 2 cdot 1 + 1 cdot 0 & 2 cdot 0 + 1 cdot 6 1 cdot 1 + (-2) cdot 0 & 1 cdot 0 + (-2) cdot 6 = 2 & 6 1 & -12
Primeiro, multiplicamos A = 2 & 6 1 & -12 25 & 15 15 & -25 por A11 = 2 cdot 25 + 6 cdot 15 = 45 + 65 = 105 = 2 :
A12 = 2 cdot 15 + 6 cdot (-25) = 25 - 125 = -105 = -2
Agora, multiplicamos o resultado por A21 = 1 cdot 25 + (-12) cdot 15 = 25 - 125 = -105 = -2 :
A22 = 1 cdot 15 + (-12) cdot (-25) = 15 + 245 = 255 = 5
Calculando cada elemento da matriz resultante:

Resposta

A matriz associada à transformação linear A = 2 & -2 -2 & 5 é:

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