Sejam una transformação linear e seus autovalores. Sabendo que e são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear com dois autovalores, e , e seus respectivos autovetores e . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação .
Para resolver isso, vamos usar o fato de que se conhecemos os autovalores e os autovetores de uma transformação linear, podemos construir a matriz associada a ela usando uma matriz diagonal e a matriz formada pelos autovetores.

Passo 2

Vamos começar formando uma matriz cujas colunas são os autovetores e . Assim:
Essa matriz será usada para mudar de base, ou seja, para passar da base dos autovetores para a base padrão de .

Passo 3

Em seguida, criamos uma matriz diagonal que tem os autovalores nos termos da diagonal principal. Como e , temos:
A matriz diagonal simplifica a aplicação da transformação linear, pois cada autovalor está associado diretamente a seu autovetor correspondente.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz , que denotaremos por . A inversa de uma matriz é dada por:
Calculando para a nossa matriz :
Então,

Passo 5

Finalmente, para encontrar a matriz associada à transformação linear , usamos a fórmula:
Multiplicando as matrizes:
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos o resultado por :
Calculando cada elemento da matriz resultante:

Resposta

A matriz associada à transformação linear é:

Exercícios relacionados

Os conjuntos abaixo são subconjuntos do . Verificar quais são subespaços vetoriais do .
(a) e
No espaço consideremos o produto interno . Calcular quando . Repita o exercício com .
Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de .
(e)
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .