Sejam
una transformação linear e
seus autovalores. Sabendo que
e
são os correspondentes autovetores, obtenha a matriz associada a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
com dois autovalores,
e
, e seus respectivos autovetores
e
. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação
.
Para resolver isso, vamos usar o fato de que se conhecemos os autovalores e os autovetores de uma transformação linear, podemos construir a matriz associada a ela usando uma matriz diagonal e a matriz formada pelos autovetores.
Passo 2
Vamos começar formando uma matriz
cujas colunas são os autovetores
e
. Assim:
Essa matriz
será usada para mudar de base, ou seja, para passar da base dos autovetores para a base padrão de
.
Passo 3
Em seguida, criamos uma matriz diagonal
que tem os autovalores nos termos da diagonal principal. Como
e
, temos:
A matriz diagonal
simplifica a aplicação da transformação linear, pois cada autovalor está associado diretamente a seu autovetor correspondente.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz
, que denotaremos por
. A inversa de uma matriz
é dada por:
Calculando para a nossa matriz
:
Então,
Passo 5
Finalmente, para encontrar a matriz associada à transformação linear
, usamos a fórmula:
Multiplicando as matrizes:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Calculando cada elemento da matriz resultante:
Resposta
A matriz associada à transformação linear
é: