Nos casos abaixo, pede-se: verificar se
é inversível;
, a matriz cofatora de
, e
, a matriz inversa de
(usando
), se esta existir.
Passo 1
Então, temos uma matriz
e precisamos entender se ela é inversível. Além disso, vamos calcular a matriz cofatora de
, que chamamos de
, e, se
for inversível, vamos encontrar a matriz inversa
usando essa matriz cofatora. Para isso, vamos precisar saber sobre determinantes, matrizes de cofatores e a fórmula para a matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz
é inversível calculando o seu determinante,
. O determinante nos diz se a matriz tem uma inversa. Se
, então
é inversível.
Passo 3
Vamos calcular
. Dependendo do tamanho da matriz, usamos diferentes métodos:
- Para matrizes
, usamos a fórmula simples: onde . - Para matrizes maiores, usamos a expansão de Laplace ou outros métodos como a eliminação de Gauss.
Passo 4
Se
, vamos calcular a matriz cofatora
. A matriz cofatora é formada pelos cofatores de cada elemento de
. O cofator de um elemento
é dado por:
onde
é a matriz que sobra quando removemos a linha
e a coluna
de
.
Passo 5
Com a matriz cofatora em mãos, podemos encontrar a matriz adjunta, que é a transposta da matriz cofatora:
Finalmente, a matriz inversa
é dada por:
Isso nos dá a inversa de
, desde que
.
Resposta
Seguindo esses passos, determinamos se
é inversível, calculamos
e, se possível, encontramos a matriz inversa
usando a relação: