Encontrar os números a e b tais que w=u+b v, sendo u=(1,-2,1) e v=(2,0,-4) e w=(-4,-4,14).

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar os números e que fazem com que o vetor seja igual a . Aqui, , e . Vamos precisar usar álgebra de vetores e resolver um sistema de equações para achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial componente a componente. Isso significa que vamos igualar cada parte dos vetores:
w = a u + b v implies (-4, -4, 14) = a(1, -2, 1) + b(2, 0, -4)

Passo 3

Distribuindo a(1, -2, 1) = (a, -2a, a) e b(2, 0, -4) = (2b, 0, -4b) nos vetores e :

Passo 4

Somando as componentes resultantes:
a u + b v = (a + 2b, -2a + 0, a - 4b)
implies (a + 2b, -2a, a - 4b)

Passo 5

Agora, igualamos cada componente com as de a + 2b = -4 -2a = -4 a - 4b = 14 :

Passo 6

Primeiro, resolvemos a segunda equação para encontrar -2a = -4 implies a = 2 :

Passo 7

Com 2 + 2b = -4 implies 2b = -6 implies b = -3 , substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 8

Para garantir que está tudo certo, substituímos 2 - 4(-3) = 2 + 12 = 14 e na terceira equação:
Está batendo com a componente z de !

Resposta

Os valores são e .

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