Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que det Q neq 0 e Q^3+2 Q^2=0. Determine o valor de det Q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem com determinante diferente de zero ( ), e uma equação envolvendo potências de : . Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: Q^2(Q + 2I) = 0 . Podemos fatorar essa expressão para facilitar a resolução. Observe que é um fator comum:
Aqui, representa a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Agora, lembrando que o determinante de uma matriz inversível (ou seja, com ) não é zero, podemos usar essa informação. Como , isso significa que é inversível, e, por consequência, também é inversível.

Passo 4

Dada a equação fatorada Q + 2I = 0 e sabendo que Q = -2I é inversível, podemos concluir que o outro fator deve ser a matriz nula:
Isso nos leva a:

Passo 5

Agora que sabemos que det Q = det(-2I) = (-2)^n det I = (-2)^n é igual a , podemos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz diagonal (como a identidade) multiplicada por um escalar é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz identidade. Como , temos:

Resposta

O valor de é .

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