Seja
uma matriz quadrada de ordem n tal que
e
. Determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada
de ordem
com determinante diferente de zero (
), e uma equação envolvendo potências de
:
. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
. Podemos fatorar essa expressão para facilitar a resolução. Observe que
é um fator comum:
Aqui,
representa a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Agora, lembrando que o determinante de uma matriz inversível (ou seja, com
) não é zero, podemos usar essa informação. Como
, isso significa que
é inversível, e, por consequência,
também é inversível.
Passo 4
Dada a equação fatorada
e sabendo que
é inversível, podemos concluir que o outro fator deve ser a matriz nula:
Isso nos leva a:
Passo 5
Agora que sabemos que
é igual a
, podemos calcular o determinante de
. O determinante de uma matriz diagonal (como a identidade) multiplicada por um escalar é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz identidade. Como
, temos:
Resposta
O valor de
é
.