Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para:
Verificar se a matriz é invertível.
Encontrar a matriz de cofatores de .
Encontrar a inversa de usando a adjunta de , se ela existir.
Conteúdo da matéria: Matrizes invertíveis, determinante, matriz de cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.
O que vamos precisar:
Calcular o determinante da matriz .
Calcular os cofatores de cada elemento de .
Construir a matriz adjunta a partir da matriz de cofatores.
Utilizar a fórmula da inversa usando a adjunta e o determinante.
Passo 2
Verificar se A = 1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4 é invertível:
Para saber se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz dada é:
Vamos calcular o determinante de , denotado por .
Passo 3
Calculando o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) :
Para uma matriz det(A) = 1 times (7 times 4 - (-1) times 1) - (-2) times (6 times 4 - (-1) times (-3)) + 3 times (6 times 1 - 7 times (-3)) , o determinante é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 times (28 + 1) - (-2) times (24 - 3) + 3 times (6 + 21)
Substituindo os valores de det(A) = 1 times 29 - (-2) times 21 + 3 times 27 :
det(A) = 29 + 42 + 81
Calculando passo a passo:
det(A) = 152
Como , a matriz é invertível.
Passo 4
Encontrando a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j times Mij :
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de 7 & -1 1 & 4.
Para cada elemento 6 & -1 -3 & 4 de 6 & 7 -3 & 1, o cofator -2 & 3 1 & 4 é dado por:
1 & 3 -3 & 4
onde 1 & -2 -3 & 1 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz obtida removendo a -2 & 3 7 & -1-ésima linha e a 1 & 3 6 & -1-ésima coluna de 1 & -2 6 & 7.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de C = 29 & -21 & 27 11 & 13 & 5 -19 & 19 & 19 .