Nos casos abaixo, pede-se:
  • Verificar se é invertível.
  • Encontra a matriz de cofatores de .
  • usando a adjunta de , se esta existir.
    (a)
    (b)
    ©*
    (d)

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para:
  1. Verificar se a matriz é invertível.
  2. Encontrar a matriz de cofatores de .
  3. Encontrar a inversa de usando a adjunta de , se ela existir.
Conteúdo da matéria: Matrizes invertíveis, determinante, matriz de cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.
O que vamos precisar:
  • Calcular o determinante da matriz .
  • Calcular os cofatores de cada elemento de .
  • Construir a matriz adjunta a partir da matriz de cofatores.
  • Utilizar a fórmula da inversa usando a adjunta e o determinante.

Passo 2

Verificar se é invertível:
Para saber se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz dada é:
Vamos calcular o determinante de , denotado por .

Passo 3

Calculando o determinante de :
Para uma matriz , o determinante é calculado da seguinte forma:
Substituindo os valores de :
Calculando passo a passo:
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Encontrando a matriz de cofatores de :
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de .
Para cada elemento de , o cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz obtida removendo a -ésima linha e a -ésima coluna de .
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de .
Cofatores:
Portanto, a matriz de cofatores é:

Passo 5

Calculando a matriz adjunta de :
A matriz adjunta, denotada por , é a transposta da matriz de cofatores.
Transpondo a matriz de cofatores :

Passo 6

Encontrando a inversa de usando a adjunta:
A fórmula para a inversa de é:
Já calculamos que e é:
Portanto:
Podemos simplificar dividindo cada elemento por 152:

Resposta

A matriz é invertível, a matriz de cofatores de é
e a inversa de é

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Sejam e retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos e pertencem à .
(b) Os pontos ou pertencem à .
© é paralela à se .
(d) é perpendicular à se .
deve ser o mesmo presente depois da reação. Aplicando esse princípio aos elementos e obtemos o seguinte sistema linear:
Mostre que esse sistema é consistente e encontre suas soluções. Faz sentido do ponto de vista químico o sistema ter múltiplas soluções?
é uma solução particular do sistema
Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.
Sejam as matrizes e . Determine os elementos e , sendo e .