Nos casos abaixo, pede-se:
  • Verificar se A é invertível.
  • Encontra a matriz de cofatores de A.
  • A^-1 usando a adjunta de A, se esta existir.
    (a) A=[ccc1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4]
    (b) A=[ccccos theta & sen theta & 0 -sen theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1]
    ©* A=[cccc0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & 0 -1 & 2 & 0 & 0]
    (d) A=[cccc3 & 5 & 6 & 0 2 & -1 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 5 & 2 & -4 & 3]

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para:
  1. Verificar se a matriz é invertível.
  2. Encontrar a matriz de cofatores de .
  3. Encontrar a inversa de usando a adjunta de , se ela existir.
Conteúdo da matéria: Matrizes invertíveis, determinante, matriz de cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.
O que vamos precisar:
  • Calcular o determinante da matriz .
  • Calcular os cofatores de cada elemento de .
  • Construir a matriz adjunta a partir da matriz de cofatores.
  • Utilizar a fórmula da inversa usando a adjunta e o determinante.

Passo 2

Verificar se A = 1 & -2 & 3 6 & 7 & -1 -3 & 1 & 4 é invertível:
Para saber se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz dada é:
Vamos calcular o determinante de , denotado por .

Passo 3

Calculando o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) :
Para uma matriz det(A) = 1 times (7 times 4 - (-1) times 1) - (-2) times (6 times 4 - (-1) times (-3)) + 3 times (6 times 1 - 7 times (-3)) , o determinante é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 times (28 + 1) - (-2) times (24 - 3) + 3 times (6 + 21)
Substituindo os valores de det(A) = 1 times 29 - (-2) times 21 + 3 times 27 :
det(A) = 29 + 42 + 81
Calculando passo a passo:
det(A) = 152
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Encontrando a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j times Mij :
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de 7 & -1 1 & 4.
Para cada elemento 6 & -1 -3 & 4 de 6 & 7 -3 & 1, o cofator -2 & 3 1 & 4 é dado por:
1 & 3 -3 & 4
onde 1 & -2 -3 & 1 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz obtida removendo a -2 & 3 7 & -1-ésima linha e a 1 & 3 6 & -1-ésima coluna de 1 & -2 6 & 7.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de C = 29 & -21 & 27 11 & 13 & 5 -19 & 19 & 19 .
Cofatores:
Portanto, a matriz de cofatores é:

Passo 5

Calculando a matriz adjunta de adj(A) = C^T = 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19 :
A matriz adjunta, denotada por , é a transposta da matriz de cofatores.
Transpondo a matriz de cofatores :

Passo 6

Encontrando a inversa de A^-1 = 1det(A) times adj(A) usando a adjunta:
A fórmula para a inversa de adj(A) = 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19 é:
A^-1 = 1152 times 29 & 11 & -19 -21 & 13 & 19 27 & 5 & 19
Já calculamos que A^-1 = 29152 & 11152 & -19152 -21152 & 13152 & 19152 27152 & 5152 & 19152 e é:
Portanto:
Podemos simplificar dividindo cada elemento por 152:

Resposta

A matriz C = 29 & -21 & 27 11 & 13 & 5 -19 & 19 & 19 é invertível, a matriz de cofatores de A^-1 = 29152 & 11152 & -19152 -21152 & 13152 & 19152 27152 & 5152 & 19152 é
e a inversa de é

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