Nos casos abaixo, pede-se:
- Verificar se
é invertível.
- Encontra a matriz de cofatores de
.
-
usando a adjunta de
, se esta existir.
(a)
(b)
©*
(d)
(a)
(b)
©*
(d)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. O enunciado nos pede para:
- Verificar se a matriz
é invertível. - Encontrar a matriz de cofatores de
. - Encontrar a inversa de
usando a adjunta de , se ela existir.
Conteúdo da matéria: Matrizes invertíveis, determinante, matriz de cofatores, adjunta e inversa de uma matriz.
O que vamos precisar:
- Calcular o determinante da matriz
. - Calcular os cofatores de cada elemento de
. - Construir a matriz adjunta a partir da matriz de cofatores.
- Utilizar a fórmula da inversa usando a adjunta e o determinante.
Passo 2
Verificar se
é invertível:
Para saber se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz dada é:
Vamos calcular o determinante de
, denotado por
.
Passo 3
Calculando o determinante de
:
Para uma matriz
, o determinante é calculado da seguinte forma:
Substituindo os valores de
:
Calculando passo a passo:
Como
, a matriz
é invertível.
Passo 4
Encontrando a matriz de cofatores de
:
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de
.
Para cada elemento
de
, o cofator
é dado por:
onde
é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz obtida removendo a
-ésima linha e a
-ésima coluna de
.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de
.
Cofatores:
Portanto, a matriz de cofatores
é:
Passo 5
Calculando a matriz adjunta de
:
A matriz adjunta, denotada por
, é a transposta da matriz de cofatores.
Transpondo a matriz de cofatores
:
Passo 6
Encontrando a inversa de
usando a adjunta:
A fórmula para a inversa de
é:
Já calculamos que
e
é:
Portanto:
Podemos simplificar dividindo cada elemento por 152:
Resposta
A matriz
é invertível, a matriz de cofatores de
é
e a inversa de
é
Exercícios relacionados
Sejam
e
retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos e
pertencem à
.
(b) Os pontos ou
pertencem à
.
© é paralela à
se
.
(d) é perpendicular à
se
.
(a) Os pontos
(b) Os pontos
©
(d)
deve ser o mesmo presente depois da reação. Aplicando esse princípio aos elementos
e
obtemos o seguinte sistema linear:
Mostre que esse sistema é consistente e encontre suas soluções. Faz sentido do ponto de vista químico o sistema ter múltiplas soluções?
é uma solução particular do sistema
Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.
Sejam as matrizes
e
. Determine os elementos
e
, sendo
e
.