x C7 H8+y H N O3 z C7 H5 O6 N3+w H2 O
deve ser o mesmo presente depois da reação. Aplicando esse princípio aos elementos C, H, N e O obtemos o seguinte sistema linear:
l 7 x=7 z 8 x+y=5 z+2 w 1 y=3 z 3 y=6 z+w
Mostre que esse sistema é consistente e encontre suas soluções. Faz sentido do ponto de vista químico o sistema ter múltiplas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma reação química que precisa ser balanceada para que o número de átomos de cada elemento seja o mesmo nos reagentes e nos produtos. Para isso, usamos álgebra para resolver um sistema de equações lineares. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e conservação de massa na química.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que já temos:
7x = 7z 8x + y = 5z + 2w y = 3z 3y = 6z + w
Essas equações representam a conservação dos elementos Carbono ©, Hidrogênio (H), Nitrogênio (N) e Oxigênio (O) na reação.

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação: x = z . Simplificando, dividimos ambos os lados por 7 e temos:
Isso significa que os coeficientes de e são iguais.

Passo 4

Agora, vamos usar a terceira equação: . Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 5

Substituímos 3(3z) = 6z + w 9z = 6z + w w = 3z na quarta equação: . Como , ficamos com:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos 8z + 3z = 5z + 2(3z) 11z = 5z + 6z 11z = 11z e na segunda equação: .
Isso confirma que a equação é verdadeira para qualquer valor de , o que significa que o sistema é consistente.

Passo 7

Como temos múltiplas soluções dependendo do valor de x = 1 y = 3(1) = 3 w = 3(1) = 3 , podemos escolher um valor para facilitar. Por exemplo, se escolhermos :

Resposta

As soluções do sistema são , e , onde pode ser qualquer número real. Do ponto de vista químico, isso significa que a reação pode ocorrer em múltiplas proporções, dependendo da quantidade de reagentes disponíveis.

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