Sejam e retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos e pertencem à .
(b) Os pontos ou pertencem à .
© é paralela à se .
(d) é perpendicular à se .

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: Temos três retas no espaço, , e , definidas por suas equações paramétricas. Precisamos avaliar quatro afirmações sobre pontos que pertencem a e sobre as relações de paralelismo e perpendicularidade entre as retas e , e entre e . Para resolver isso, vamos revisar conceitos de equações paramétricas de retas, verificar se pontos pertencem a uma reta e entender condições de paralelismo e perpendicularidade entre vetores diretores.

Passo 2

Parte (a): Verificar se os pontos e pertencem à reta .
A equação paramétrica da reta é:
Isso significa que para algum valor de , as coordenadas de um ponto na reta devem satisfazer:
Vamos verificar para :
Todos os valores conferem, então está em .
Agora para :
Aqui, o valor de não confere, então não está em .
Portanto, somente pertence à .

Passo 3

Parte (a) - Resposta: Falsa. Só o ponto pertence à reta ; não pertence.

Passo 4

Parte (b): Verificar se pelo menos um dos pontos ou pertence à reta .
Já vimos na parte (a) que está em e não está. Como pelo menos um dos pontos pertence, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Parte (b) - Resposta: Verdadeira. O ponto pertence à reta .

Passo 6

Parte ©: Determinar se é paralela a quando .
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos um do outro. Vamos identificar os vetores diretores:
Para :
Para :
Para que e sejam paralelos, deve existir um escalar tal que:
Da terceira equação:
Substituindo em :
Substituindo e b em :
Agora temos um sistema:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo as equações:
Então:
Verificamos que , que é a condição dada.
Portanto, é paralela a quando .

Passo 7

Parte © - Resposta: Verdadeira. Quando , as retas e são paralelas.

Passo 8

Parte (d): Determinar se é perpendicular a quando .
Duas retas são perpendiculares se os vetores diretores são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Vamos identificar os vetores diretores:
Para :
Para :
Substituindo em :
Agora, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, então as retas e são perpendiculares quando .

Passo 9

Parte (d) - Resposta: Verdadeira. As retas e são perpendiculares se .

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) V

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
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  • Verificar se é invertível.
  • Encontra a matriz de cofatores de .
  • usando a adjunta de , se esta existir.
    (a)
    (b)
    ©*
    (d)
é uma solução particular do sistema
Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.