Sejam r1:(x, y, z)=(0,-1,1)+(-1,2,1) t, r2:(x, y, z)=(1,1,-1)+(a+ 2 b,-1,1) t e r3:(x, y, z)=(-2,3,2)+(3, a-b, 4) t retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos P1(-2,3,3) e P2(1,-3,1) pertencem à r1.
(b) Os pontos P1(-2,3,3) ou P2(1,-3,1) pertencem à r1.
© r2 é paralela à r3 se a+b=-56.
(d) r1 é perpendicular à r2 se a=-1-2 b.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: Temos três retas no espaço, , e , definidas por suas equações paramétricas. Precisamos avaliar quatro afirmações sobre pontos que pertencem a e sobre as relações de paralelismo e perpendicularidade entre as retas e , e entre e . Para resolver isso, vamos revisar conceitos de equações paramétricas de retas, verificar se pontos pertencem a uma reta e entender condições de paralelismo e perpendicularidade entre vetores diretores.

Passo 2

Parte (a): Verificar se os pontos (x, y, z) = (0, -1, 1) + t cdot (-1, 2, 1) e x = 0 - t y = -1 + 2t z = 1 + t pertencem à reta x = -2 = 0 - t Rightarrow t = 2 y = 3 = -1 + 2(2) Rightarrow 3 = 3 z = 3 = 1 + 2 Rightarrow 3 = 3 .
A equação paramétrica da reta x = 1 = 0 - t Rightarrow t = -1 y = -3 = -1 + 2(-1) Rightarrow -3 = -3 z = 1 = 1 + (-1) Rightarrow 1 neq 0 é:
Isso significa que para algum valor de , as coordenadas de um ponto na reta devem satisfazer:
Vamos verificar para :
Todos os valores conferem, então está em .
Agora para :
Aqui, o valor de não confere, então não está em .
Portanto, somente pertence à .

Passo 3

Parte (a) - Resposta: Falsa. Só o ponto pertence à reta ; não pertence.

Passo 4

Parte (b): Verificar se pelo menos um dos pontos ou pertence à reta .
Já vimos na parte (a) que está em e não está. Como pelo menos um dos pontos pertence, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Parte (b) - Resposta: Verdadeira. O ponto pertence à reta .

Passo 6

Parte ©: Determinar se Vetor diretor u = (a + 2b, -1, 1) é paralela a Vetor diretor v = (3, a - b, 4) quando a + 2b = 3k -1 = (a - b)k 1 = 4k .
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos um do outro. Vamos identificar os vetores diretores:
Para k = 14 :
-1 = a - b4 Rightarrow a - b = -4
Para a + 2b = 34 :
a - b = -4 a + 2b = 34
Para que (a + 2b) - (a - b) = 34 - (-4) 3b = 194 Rightarrow b = 1912 e a = -4 + b = -4 + 1912 = -4812 + 1912 = -2912 sejam paralelos, deve existir um escalar tal que:
Da terceira equação:
Substituindo em :
Substituindo e b em :
Agora temos um sistema:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo as equações:
Então:
Verificamos que , que é a condição dada.
Portanto, é paralela a quando .

Passo 7

Parte © - Resposta: Verdadeira. Quando , as retas e são paralelas.

Passo 8

Parte (d): Determinar se u = (-1, 2, 1) é perpendicular a v = (a + 2b, -1, 1) quando v = (-1 - 2b + 2b, -1, 1) = (-1, -1, 1) .
Duas retas são perpendiculares se os vetores diretores são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Vamos identificar os vetores diretores:
Para u cdot v = (-1)(-1) + (2)(-1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0 :
Para :
Substituindo em :
Agora, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, então as retas e são perpendiculares quando .

Passo 9

Parte (d) - Resposta: Verdadeira. As retas e são perpendiculares se .

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) V

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