Vamos dar uma olhada na questão: Temos três retas no espaço, , e , definidas por suas equações paramétricas. Precisamos avaliar quatro afirmações sobre pontos que pertencem a e sobre as relações de paralelismo e perpendicularidade entre as retas e , e entre e . Para resolver isso, vamos revisar conceitos de equações paramétricas de retas, verificar se pontos pertencem a uma reta e entender condições de paralelismo e perpendicularidade entre vetores diretores.
Passo 2
Parte (a): Verificar se os pontos e pertencem à reta .
A equação paramétrica da reta é:
Isso significa que para algum valor de , as coordenadas de um ponto na reta devem satisfazer:
Vamos verificar para :
Todos os valores conferem, então está em .
Agora para :
Aqui, o valor de não confere, então não está em .
Portanto, somente pertence à .
Passo 3
Parte (a) - Resposta: Falsa. Só o ponto pertence à reta ; não pertence.
Passo 4
Parte (b): Verificar se pelo menos um dos pontos ou pertence à reta .
Já vimos na parte (a) que está em e não está. Como pelo menos um dos pontos pertence, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Parte (b) - Resposta: Verdadeira. O ponto pertence à reta .
Parte (d): Determinar se é perpendicular a quando .
Duas retas são perpendiculares se os vetores diretores são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Vamos identificar os vetores diretores:
Para :
Para :
Substituindo em :
Agora, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, então as retas e são perpendiculares quando .
Passo 9
Parte (d) - Resposta: Verdadeira. As retas e são perpendiculares se .