Sejam
e
retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos
e
pertencem à
.
(b) Os pontos
ou
pertencem à
.
©
é paralela à
se
.
(d)
é perpendicular à
se
.
(a) Os pontos
(b) Os pontos
©
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: Temos três retas no espaço,
,
e
, definidas por suas equações paramétricas. Precisamos avaliar quatro afirmações sobre pontos que pertencem a
e sobre as relações de paralelismo e perpendicularidade entre as retas
e
, e entre
e
. Para resolver isso, vamos revisar conceitos de equações paramétricas de retas, verificar se pontos pertencem a uma reta e entender condições de paralelismo e perpendicularidade entre vetores diretores.
Passo 2
Parte (a): Verificar se os pontos
e
pertencem à reta
.
A equação paramétrica da reta
é:
Isso significa que para algum valor de
, as coordenadas de um ponto na reta devem satisfazer:
Vamos verificar para
:
Todos os valores conferem, então
está em
.
Agora para
:
Aqui, o valor de
não confere, então
não está em
.
Portanto, somente
pertence à
.
Passo 3
Parte (a) - Resposta: Falsa. Só o ponto
pertence à reta
;
não pertence.
Passo 4
Parte (b): Verificar se pelo menos um dos pontos
ou
pertence à reta
.
Já vimos na parte (a) que
está em
e
não está. Como pelo menos um dos pontos pertence, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Parte (b) - Resposta: Verdadeira. O ponto
pertence à reta
.
Passo 6
Parte ©: Determinar se
é paralela a
quando
.
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos um do outro. Vamos identificar os vetores diretores:
Para
:
Para
:
Para que
e
sejam paralelos, deve existir um escalar
tal que:
Da terceira equação:
Substituindo em
:
Substituindo
e b em
:
Agora temos um sistema:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo as equações:
Subtraindo as equações:
Então:
Verificamos que
, que é a condição dada.
Portanto,
é paralela a
quando
.
Passo 7
Parte © - Resposta: Verdadeira. Quando
, as retas
e
são paralelas.
Passo 8
Parte (d): Determinar se
é perpendicular a
quando
.
Duas retas são perpendiculares se os vetores diretores são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero. Vamos identificar os vetores diretores:
Para
:
Para
:
Substituindo
em
:
Agora, calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares, então as retas
e
são perpendiculares quando
.
Passo 9
Parte (d) - Resposta: Verdadeira. As retas
e
são perpendiculares se
.
Resposta
a) F
b) V
c) V
d) V
b) V
c) V
d) V