X=[l 0 0 0 4 ]
é uma solução particular do sistema
l x-y+w=4 2 x+3 y-z=0 y+z+w=4
Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e uma solução particular para ele. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as soluções possíveis desse sistema, ou seja, a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre soluções de sistemas lineares. Precisamos encontrar tanto a solução particular que você já tem quanto a solução da parte homogênea do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma solução particular é uma solução específica que satisfaz todas as equações do sistema original. No seu caso, a solução particular é:
Xp = 0 0 0 4

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral, precisamos encontrar todas as soluções do sistema homogêneo associado. O sistema homogêneo é obtido definindo o lado direito das equações igual a zero. Então, o sistema homogêneo correspondente é:
l x - y + w = 0 2x + 3y - z = 0 y + z + w = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema homogêneo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar as equações. Vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 2 & 3 & -1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 5

Vamos eliminar a variável Equação 2: 2x + 3y - z = 0 - 2 times Equação 1: -2x + 2y - 0w = 0 Rightarrow 5y - z = 0 das equações 2 e 3. Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2:
y + z + w = 0 çãçã
E a equação 3 permanece a mesma:

Passo 6

Agora, temos duas equações com as variáveis 5y - z = 0 (1) y + z + w = 0 (2) :
z = 5y
Vamos expressar em termos de a partir da equação (1):

Passo 7

Substituímos y + 5y + w = 0 6y + w = 0 w = -6y na equação (2):

Passo 8

Agora, temos todas as variáveis em termos de y = t z = 5t w = -6t . Vamos usar como parâmetro livre, ou seja, vamos deixar , onde pode ser qualquer número real. Assim:

Passo 9

Finalmente, não esquecendo da variável x - y + w = 0 x = y - w x = t - (-6t) x = 7t , que a partir da equação 1 do sistema homogêneo original:

Passo 10

Agora, juntando todas as variáveis em termos de Xh = t 7 1 5 -6 , t in R , a solução geral do sistema homogêneo é:

Resposta

A solução geral do sistema é a solução particular mais todos os múltiplos da solução homogênea. Portanto,
X = Xp + Xh = 0 0 0 4 + t 7 1 5 -6 , t in R
Ou seja,
X = 7t t 5t 4 - 6t , t in R

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