é uma solução particular do sistema
Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e uma solução particular para ele. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as soluções possíveis desse sistema, ou seja, a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre soluções de sistemas lineares. Precisamos encontrar tanto a solução particular que você já tem quanto a solução da parte homogênea do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma solução particular é uma solução específica que satisfaz todas as equações do sistema original. No seu caso, a solução particular é:

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral, precisamos encontrar todas as soluções do sistema homogêneo associado. O sistema homogêneo é obtido definindo o lado direito das equações igual a zero. Então, o sistema homogêneo correspondente é:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema homogêneo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar as equações. Vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:

Passo 5

Vamos eliminar a variável das equações 2 e 3. Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2:
çãçã
E a equação 3 permanece a mesma:

Passo 6

Agora, temos duas equações com as variáveis :
Vamos expressar em termos de a partir da equação (1):

Passo 7

Substituímos na equação (2):

Passo 8

Agora, temos todas as variáveis em termos de . Vamos usar como parâmetro livre, ou seja, vamos deixar , onde pode ser qualquer número real. Assim:

Passo 9

Finalmente, não esquecendo da variável , que a partir da equação 1 do sistema homogêneo original:

Passo 10

Agora, juntando todas as variáveis em termos de , a solução geral do sistema homogêneo é:

Resposta

A solução geral do sistema é a solução particular mais todos os múltiplos da solução homogênea. Portanto,
Ou seja,

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo, pede-se:
  • Verificar se é invertível.
  • Encontra a matriz de cofatores de .
  • usando a adjunta de , se esta existir.
    (a)
    (b)
    ©*
    (d)
Sejam e retas do espaço. Classifique as seguintes afirmações sobre as retas em verdadeiras (V) ou falsas (F).
(a) Os pontos e pertencem à .
(b) Os pontos ou pertencem à .
© é paralela à se .
(d) é perpendicular à se .
Sejam as matrizes e . Determine os elementos e , sendo e .
Uma reta definida pelas equações paramétricas pode ser representada pelas equações reduzidas se . Essas equações são obtidas isolando na equação e substituindo o valor obtida nas demais. Dessa forma e ficam em função de , o qual atua como o parâmetro na equação. Para obter equações reduzidas em função de se ou (se , basta isolar o parâmetro na equação correspondente à respectiva variável. Determine equações reduzidas em função de para as seguintes retas:
(a)
(b)