Usando essa solução particular, escreva a solução geral do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e uma solução particular para ele. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as soluções possíveis desse sistema, ou seja, a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre soluções de sistemas lineares. Precisamos encontrar tanto a solução particular que você já tem quanto a solução da parte homogênea do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma solução particular é uma solução específica que satisfaz todas as equações do sistema original. No seu caso, a solução particular é:
Xp = 0 0 0 4
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral, precisamos encontrar todas as soluções do sistema homogêneo associado. O sistema homogêneo é obtido definindo o lado direito das equações igual a zero. Então, o sistema homogêneo correspondente é:
l x - y + w = 0 2x + 3y - z = 0 y + z + w = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema homogêneo. Podemos usar o método da eliminação de Gauss para simplificar as equações. Vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
Vamos eliminar a variável Equação 2: 2x + 3y - z = 0 - 2 times Equação 1: -2x + 2y - 0w = 0 Rightarrow 5y - z = 0 das equações 2 e 3. Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2:
y + z + w = 0 çãçã
E a equação 3 permanece a mesma:
Passo 6
Agora, temos duas equações com as variáveis 5y - z = 0 (1) y + z + w = 0 (2) :
z = 5y
Vamos expressar em termos de a partir da equação (1):
Passo 7
Substituímos y + 5y + w = 0 6y + w = 0 w = -6y na equação (2):
Passo 8
Agora, temos todas as variáveis em termos de y = t z = 5t w = -6t . Vamos usar como parâmetro livre, ou seja, vamos deixar , onde pode ser qualquer número real. Assim:
Passo 9
Finalmente, não esquecendo da variável x - y + w = 0 x = y - w x = t - (-6t) x = 7t , que a partir da equação 1 do sistema homogêneo original:
Passo 10
Agora, juntando todas as variáveis em termos de Xh = t 7 1 5 -6 , t in R , a solução geral do sistema homogêneo é:
Resposta
A solução geral do sistema é a solução particular mais todos os múltiplos da solução homogênea. Portanto,