Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(b) lim (x, y) (0,0) x^4-16 y^4x^2+4 y^2=0

Passo 1

Vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, então vamos precisar verificar se o limite existe e, se existir, determinar o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão x^4 - 16 y^4 = (x^2)^2 - (4 y^2)^2 = (x^2 - 4 y^2)(x^2 + 4 y^2) . A gente pode simplificar o numerador fatorando . Lembra quando a gente usa a diferença de quadrados? Pois é:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
(x^2 - 4 y^2)(x^2 + 4 y^2)x^2 + 4 y^2
A gente pode cancelar o termo x^2 - 4 y^2 no numerador e no denominador, ficando:
Isso vale para , o que é verdade perto de .

Passo 4

Agora, o limite ficou bem mais simples:
lim(x,y) to (0,0) x^2 - 4 y^2
Basta substituir 0^2 - 4 cdot 0^2 = 0 e :

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados