(3,0 Pontos)Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série:
[2] sumn=1^infty(-1)^n n^4(x+4)^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do estudo de séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência L = limn to infty | an+1an | calculando o limite:
Onde .

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 (n+1)^4(x+4)^n+12^n+1(-1)^n n^4(x+4)^n2^n = -(n+1)^4n^4 cdot (x+4)2 :
| an+1an | = (n+1)^4n^4 cdot | x+42 |
Como estamos interessados no valor absoluto, o sinal negativo não interfere:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (n+1)^4n^4 cdot | x+42 | = limn to infty (1 + 1n)^4 cdot | x+42 | = 1 cdot | x+42 | = | x+42 | tende ao infinito:
| x+42 | < 1
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 5

Resolvendo a inequação:
| x + 4 | < 2 implies -2 < x + 4 < 2 implies -6 < x < -2
Então, o raio de convergência é 2, e o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é .

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