Nos casos a seguir, verifique que Im(f) ⊆ D(g) para, assim, determinar a função composta h = g o f.
© f(x) = -raiz(x) e g(x) = raiz(2 - x).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: e . O que precisamos fazer é verificar se o conjunto de saída de , chamado de imagem de , está dentro do conjunto de entrada de , que é o domínio de . Depois disso, vamos determinar a função composta , que basicamente significa que vamos aplicar primeiro e depois no resultado de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de cada função. O domínio de é todos os valores de que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa. Ou seja:
Então, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos identificar a imagem de . Como , para , é sempre não negativa, e multiplicando por -1, será sempre não positiva. Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o domínio de . A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
Então, o domínio de é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a imagem de , que é , está dentro do domínio de , que é . Observamos que todo número que é menor ou igual a 0 também é menor ou igual a 2. Portanto:
Isso significa que podemos compor as funções e .

Passo 6

Vamos encontrar a função composta . Isso significa que para cada no domínio de , calculamos:
Substituindo em :

Resposta

A função composta é .

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