As funções f: A -> B e g: A' -> B' são iguais quando A = A', B = B' e, além disso, f(x) = g(x), para todo x em A. Em cada caso, decida se f e g são iguais ou não.
(d) f(x) = x e g(x) = raiz(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se as funções e são iguais. Isso está dentro da matéria de Funções, especificamente sobre igualdade de funções. Para determinar isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Se os domínios das funções são iguais.
  2. Se os codomínios são iguais.
  3. Se, para todo no domínio, .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os domínios das duas funções. A função está definida para todos os números reais, ou seja, seu domínio é . Já a função também está definida para todos os reais, porque é sempre não negativo e a raiz quadrada de um número não negativo também é um número real. Portanto, os domínios são iguais: .

Passo 3

Agora, vamos comparar os codomínios. Ambas as funções mapeiam para os números reais, então os codomínios também são iguais: .

Passo 4

O próximo passo é verificar se para todo no domínio. Vamos calcular :
Então, , que é o valor absoluto de . Já .

Passo 5

Agora, vamos comparar e :
  • Para :
    Portanto, .
  • Para :
    Aqui, porque é negativo e é positivo.

Resposta

As funções e não são iguais porque, para alguns valores de (especificamente quando ), não é igual a .

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