As funções
e
são iguais quando
e, além disso,
. Em cada caso, decida se
e
são iguais ou não.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para a gente decidir se as funções
e
são iguais ou não. Estamos lidando com conceitos de funções e igualdade de funções na matemática. Para resolver isso, precisamos verificar se ambas as funções têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e se produzem o mesmo resultado para todo valor de entrada no domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observamos que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, substituindo na função
:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração. O termo
no numerador e no denominador se cancelam, mas é importante lembrar que essa simplificação só é válida quando
, ou seja, quando
. Portanto, simplificando:
Passo 4
Vamos analisar agora as condições de igualdade das funções
e
:
-
Domínio:
- Para
, originalmente o denominador não pode ser zero, então o domínio é . - Para
, não há restrições no denominador, então o domínio é .
Como os domínios são diferentes, já podemos concluir que as funções não são iguais em todo o conjunto dos números reais. - Para
-
Complementando a análise:
- Mesmo para
, onde ambas as funções são iguais , a diferença no domínio nos impede de considerar as funções como iguais.
- Mesmo para
Resposta
As funções
e
não são iguais porque possuem domínios diferentes.
Exercícios relacionados
Nos casos a seguir, verifique que
para, assim, determinar a função composta
.
© e
.
©
As funções
e
são iguais quando
e, além disso,
. Em cada caso, decida se
e
são iguais ou não.
(d) e
.
(d)
Verifique onde a função
é crescente e onde ela é decrescente.
Resolva as equações abaixo.
(h)
(h)