Cassinóide é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo produto das distâncias a dois pontos dados do plano é um constante
. Os pontos chamam-se focos. Denote-os por
e
. Tomando o sistema de coordenadas de modo que o eixo-
passe pelos focos e o eixo-
seja a mediatriz do segmento
, mostre uma equação cartesiana para a cassinóide é
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a cassinóide, que é uma curva no plano onde o produto das distâncias de qualquer ponto da curva a dois pontos fixos (chamados de focos) é uma constante
. Nossa missão é mostrar que a equação cartesiana dessa cassinóide é:
Sabemos que os focos são
e
. Vamos usar geometria analítica para derivar essa equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto das distâncias aos focos ser constante. Se
é qualquer ponto na cassinóide, então:
Aqui,
é a distância entre
e
, e
é a distância entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Passo 4
Agora, multiplicamos essas duas distâncias e igualamos a
:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado esquerdo. Primeiro, reconhecemos que temos a forma
, onde:
Aplicando essa identidade:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar os termos para chegar na forma desejada:
Note que
. Substituindo isso na equação:
Resposta
Prontinho! Mostramos que a equação cartesiana da cassinóide é: