Cassinóide é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo produto das distâncias a dois pontos dados do plano é um constante k^2. Os pontos chamam-se focos. Denote-os por F1 e F2. Tomando o sistema de coordenadas de modo que o eixo- x passe pelos focos e o eixo- y seja a mediatriz do segmento F1 F2, mostre uma equação cartesiana para a cassinóide é (x^2+y^2)^2-2 a^2(x^2-y^2)+a^4-k^4=0 onde F1=(a, 0) e F2=(-a, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a cassinóide, que é uma curva no plano onde o produto das distâncias de qualquer ponto da curva a dois pontos fixos (chamados de focos) é uma constante (x^2+y^2)^2 - 2 a^2(x^2-y^2) + a^4 - k^4 = 0 . Nossa missão é mostrar que a equação cartesiana dessa cassinóide é:
Sabemos que os focos são e . Vamos usar geometria analítica para derivar essa equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto das distâncias aos focos ser constante. Se |PF1| times |PF2| = k^2 é qualquer ponto na cassinóide, então:
Aqui, é a distância entre e , e é a distância entre e .

Passo 3

Vamos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
|PF1| = raiz(x - a)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - a)^2 + y^2
|PF2| = raiz(x + a)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x + a)^2 + y^2

Passo 4

Agora, multiplicamos essas duas distâncias e igualamos a raiz(x - a)^2 + y^2 times raiz(x + a)^2 + y^2 = k^2 :
[(x - a)^2 + y^2] times [(x + a)^2 + y^2] = k^4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado esquerdo. Primeiro, reconhecemos que temos a forma A = x^2 + y^2 + a^2 , onde:
B = 2a x
(x^2 + y^2 + a^2)^2 - (2a x)^2 = k^4
Aplicando essa identidade:
(x^2 + y^2)^2 + 2a^2(x^2 + y^2) + a^4 - 4a^2x^2 = k^4
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar os termos para chegar na forma desejada:
(x^2 + y^2)^2 - 2a^2x^2 + 2a^2y^2 + a^4 - k^4 = 0
Note que (x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) + a^4 - k^4 = 0 . Substituindo isso na equação:

Resposta

Prontinho! Mostramos que a equação cartesiana da cassinóide é:
(x^2+y^2)^2 - 2 a^2(x^2-y^2) + a^4 - k^4 = 0

Exercícios relacionados