Obtenha uma equação para cassinóide em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, então você quer obter uma equação para a cassinóide em coordenadas polares. Vamos lá! Primeiro, vamos entender que isso envolve conhecimentos de geometria analítica e transformação de coordenadas. Precisaremos usar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas e polares para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma cassinóide. A cassinóide é o conjunto de pontos no plano cuja distância em relação a dois pontos fixos (chamados de focos) tem um produto constante. Geralmente, a equação dessa curva é dada em coordenadas cartesianas, mas nosso objetivo aqui é expressá-la em coordenadas polares.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo que o raio
forma com o eixo positivo das
. Sabemos que podemos converter coordenadas cartesianas
para polares usando as relações:
Passo 4
A equação geral da cassinóide em coordenadas cartesianas, considerando os focos em
, é:
Agora, vamos substituir
e
pelas suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando a equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando que
):
Lembre-se que
, então:
Resposta
A equação da cassinóide em coordenadas polares é: