Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar geometricamente todos os pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem a equação
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que usam a distância do ponto à origem (
) e o ângulo (
) em vez das coordenadas cartesianas tradicionais (x e y). Para resolver isso, vamos converter a equação de coordenadas polares para cartesianas e descobrir que tipo de curva ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como converter coordenadas polares para cartesianas. Sabemos que:
E também, temos que
. Essas relações vão nos ajudar a transformar a equação dada em termos de x e y.
Passo 3
Agora, vamos pegar a equação que nos foi dada:
Substituímos
por
e
por
(já que
):
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, note que
, ent��o podemos substituir:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Mas isso fica complicado, então outra abordagem é multiplicar ambos os lados originais por
:
Substituindo
por
, ainda ficamos com uma equação complicada. Para simplificar, vamos considerar que estamos trabalhando com
, então uma abordagem melhor é reconhecer que essa é a equação de um certo tipo de curva.
Passo 5
Vamos analisar a equação
. Conhecemos algumas curvas em coordenadas polares:
-
representa um círculo. -
representa uma conica (elipse, parábola, hipérbole) dependendo do valor de e.
No nosso caso, a equação tem
igual a algo envolvendo
. Isso sugere que podemos manipular a equação para identificar melhor a curva.
Passo 6
Reescrevendo a equação:
Como
e
, substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Essa equação representa uma curva específica no plano.
Passo 7
Analisando a equação
, percebemos que ela descreve um tipo especial de curva conhecida como “cardioide”. No entanto, isso não é uma cardioide típica, mas sim uma curva com simetria em relação ao eixo x, já que a equação depende principalmente de
.
Passo 8
Para visualizar essa curva, podemos plotar alguns pontos ou usar software gráfico. A curva resultante será simétrica em relação ao eixo x e terá uma forma que se estende para a direita do plano, devido ao termo
que favorece valores positivos de x.
Resposta
A representação geométrica dos pontos que satisfazem
é uma curva simétrica em relação ao eixo x, correspondente a uma circunferência deslocada para a direita no plano cartesiano.