Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: rho^2=4 cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar geometricamente todos os pontos do plano cujas coordenadas polares satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, que usam a distância do ponto à origem ( ) e o ângulo ( ) em vez das coordenadas cartesianas tradicionais (x e y). Para resolver isso, vamos converter a equação de coordenadas polares para cartesianas e descobrir que tipo de curva ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como converter coordenadas polares para cartesianas. Sabemos que:
x = rho cos theta
y = rho sin theta
E também, temos que . Essas relações vão nos ajudar a transformar a equação dada em termos de x e y.

Passo 3

Agora, vamos pegar a equação que nos foi dada:
rho^2 = 4 cos theta
Substituímos x^2 + y^2 = 4 ( xrho ) por e por (já que ):

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, note que x^2 + y^2 = 4 ( xraizx^2 + y^2 ) , ent��o podemos substituir:
(x^2 + y^2)^1.5 = 4x
Multiplicando ambos os lados por rho^3 = 4x para eliminar a fração:
Mas isso fica complicado, então outra abordagem é multiplicar ambos os lados originais por :
Substituindo por , ainda ficamos com uma equação complicada. Para simplificar, vamos considerar que estamos trabalhando com , então uma abordagem melhor é reconhecer que essa é a equação de um certo tipo de curva.

Passo 5

Vamos analisar a equação . Conhecemos algumas curvas em coordenadas polares:
  • representa um círculo.
  • representa uma conica (elipse, parábola, hipérbole) dependendo do valor de e.
No nosso caso, a equação tem igual a algo envolvendo . Isso sugere que podemos manipular a equação para identificar melhor a curva.

Passo 6

Reescrevendo a equação:
rho^2 = 4 cos theta
Como x^2 + y^2 = 4 ( xraizx^2 + y^2 ) e (x^2 + y^2)^1.5 = 4x , substituímos:
(x^2 + y^2)^3 = 16x^2
Multiplicando ambos os lados por :
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Essa equação representa uma curva específica no plano.

Passo 7

Analisando a equação , percebemos que ela descreve um tipo especial de curva conhecida como “cardioide”. No entanto, isso não é uma cardioide típica, mas sim uma curva com simetria em relação ao eixo x, já que a equação depende principalmente de .

Passo 8

Para visualizar essa curva, podemos plotar alguns pontos ou usar software gráfico. A curva resultante será simétrica em relação ao eixo x e terá uma forma que se estende para a direita do plano, devido ao termo que favorece valores positivos de x.

Resposta

A representação geométrica dos pontos que satisfazem é uma curva simétrica em relação ao eixo x, correspondente a uma circunferência deslocada para a direita no plano cartesiano.

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