Determine as coordenadas cilindricas e esféricas dos pontos dados em coordenadas cartesianas por: (0,0,0),(2,0,0),(-2,0,0),(0,5,0),(0,-4,0),(0,0,3),(0,0,-3),(0,1,2),(1,1,1). Em cada caso, discuta sobre a unicidade da representação do ponto nestes dois sistemas de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente converter uma lista de pontos que estão em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como funciona cada sistema de coordenadas e aplicar as fórmulas de conversão. Precisaremos usar as fórmulas que relacionam , , com , , nas coordenadas cilíndricas e , , nas esféricas. Além disso, vamos discutir se cada ponto tem uma representação única nesses sistemas.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • pode ser qualquer ângulo, já que o ponto está na origem.
Coordenadas Esféricas:
  • é indefinido, pois .
  • também é indefinido.
Unicidade:
Na origem, em coordenadas cilíndricas e esféricas, e não são únicos porque o ponto não tem direção específica.

Passo 3

Vamos para o segundo ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (pois está no eixo positivo )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos (porque está no plano )
  • radianos
Unicidade:
A representação é única porque está definido como 0 e como .

Passo 4

Agora, o terceiro ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (pois está no eixo negativo )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos
  • radianos
Unicidade:
A representação é única com e .

Passo 5

Quarto ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (no eixo positivo )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos
  • radianos
Unicidade:
Único com e .

Passo 6

Quinto ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (no eixo negativo )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos
  • radianos
Unicidade:
Único com e .

Passo 7

Sexto ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • é indefinido
Coordenadas Esféricas:
  • radianos (ponto no eixo positivo )
  • é indefinido
Unicidade:
Em coordenadas cilíndricas, não é único. Em esféricas, também não é único, mas está definido como 0.

Passo 8

Sétimo ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • é indefinido
Coordenadas Esféricas:
  • radianos (ponto no eixo negativo )
  • é indefinido
Unicidade:
Similar ao ponto anterior, não é único, mas está definido como .

Passo 9

Oitavo ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (no eixo positivo )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos
Unicidade:
A representação é única com e .

Passo 10

Nono ponto: .
Coordenadas Cilíndricas:
  • radianos (45 graus no plano )
Coordenadas Esféricas:
  • radianos
Unicidade:
Representação única com e .

Resposta

Aqui está a tabela com as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos dados:
Ponto Cartesianas Cilíndricas Esféricas
Observações sobre Unicidade:
  • Para a origem , as coordenadas e não são únicas.
  • Para pontos onde ou , alguns ângulos tornam-se indefinidos.
  • Para os demais pontos, as representações em coordenadas cilíndricas e esféricas são únicas, já que os ângulos estão bem definidos.

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