Determine as coordenadas cilindricas e esféricas dos pontos dados em coordenadas cartesianas por:
. Em cada caso, discuta sobre a unicidade da representação do ponto nestes dois sistemas de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente converter uma lista de pontos que estão em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como funciona cada sistema de coordenadas e aplicar as fórmulas de conversão. Precisaremos usar as fórmulas que relacionam
,
,
com
,
,
nas coordenadas cilíndricas e
,
,
nas esféricas. Além disso, vamos discutir se cada ponto tem uma representação única nesses sistemas.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
pode ser qualquer ângulo, já que o ponto está na origem. -
Coordenadas Esféricas:
-
-
é indefinido, pois . -
também é indefinido.
Unicidade:
Na origem, em coordenadas cilíndricas e esféricas, e
não são únicos porque o ponto não tem direção específica.
Na origem, em coordenadas cilíndricas e esféricas,
Passo 3
Vamos para o segundo ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (pois está no eixo positivo ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos (porque está no plano ) -
radianos
Unicidade:
A representação é única porque está definido como 0 e
como
.
A representação é única porque
Passo 4
Agora, o terceiro ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (pois está no eixo negativo ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos -
radianos
Unicidade:
A representação é única com e
.
A representação é única com
Passo 5
Quarto ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (no eixo positivo ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos -
radianos
Unicidade:
Único com e
.
Único com
Passo 6
Quinto ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (no eixo negativo ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos -
radianos
Unicidade:
Único com e
.
Único com
Passo 7
Sexto ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
é indefinido -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos (ponto no eixo positivo ) -
é indefinido
Unicidade:
Em coordenadas cilíndricas, não é único. Em esféricas,
também não é único, mas
está definido como 0.
Em coordenadas cilíndricas,
Passo 8
Sétimo ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
é indefinido -
Coordenadas Esféricas:
-
-
radianos (ponto no eixo negativo ) -
é indefinido
Unicidade:
Similar ao ponto anterior, não é único, mas
está definido como
.
Similar ao ponto anterior,
Passo 9
Oitavo ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (no eixo positivo ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
-
radianos
Unicidade:
A representação é única com e
.
A representação é única com
Passo 10
Nono ponto:
.
Coordenadas Cilíndricas:
-
-
radianos (45 graus no plano ) -
Coordenadas Esféricas:
-
-
-
radianos
Unicidade:
Representação única com e
.
Representação única com
Resposta
Aqui está a tabela com as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos dados:
Ponto Cartesianas | Cilíndricas
|
Esféricas
|
---|---|---|
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Observações sobre Unicidade:
- Para a origem
, as coordenadas e não são únicas. - Para pontos onde
ou , alguns ângulos tornam-se indefinidos. - Para os demais pontos, as representações em coordenadas cilíndricas e esféricas são únicas, já que os ângulos estão bem definidos.