Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem: p^2=1-sen theta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação em coordenadas polares: . O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e a representação gráfica de equações nesse sistema. Para resolver, vamos precisar entender como converter essa equação para coordenadas cartesianas ou identificar que tipo de curva ela representa diretamente em polares.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em coordenadas polares, é a distância do ponto até a origem, e é o ângulo formado com o eixo positivo x. A equação dada é . Vamos tentar identificar que tipo de curva isso representa.

Passo 3

Sabemos que algumas equações em coordenadas polares correspondem a figuras geométricas conhecidas. Por exemplo, é um círculo, é uma linha, e assim por diante. A presença do termo sugere que a curva pode ser uma cônica, possivelmente uma elipse ou hipérbole, mas vamos verificar.

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação: . Podemos rearranjar isso para . Agora, precisamos relacionar isso com as formas padrão das curvas em coordenadas polares.

Passo 5

Sabemos que equações que combinam termos de e funções de geralmente representam curvas que variam de distância dependendo do ângulo. Nesse caso, a presença de sugere que a distância muda conforme o seno do ângulo, o que caracteriza uma forma de ondulação ou desvio em relação a uma forma base.

Passo 6

Para representar geometricamente, podemos esboçar o gráfico considerando diferentes valores de de 0 a e calcular os correspondentes valores de . Isso nos dará pontos que podemos plotar no plano polar:
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, observamos que a curva resultante é um tipo de cíclica com simetria em relação ao eixo x, mas com variações na distância conforme o ângulo . Essa representação gráfica mostra como os pontos se distribuem no plano conforme a equação dada.

Resposta

A representação geométrica dos pontos que satisfazem é uma curva poligonal no plano polar onde a distância do ponto à origem varia com o seno do ângulo , formando uma curva simétrica que se estende até quando e retorna a em e .

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