Represente geometricamente os pontos do plano tais que suas coordenadas polares satisfazem:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação em coordenadas polares:
. O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e a representação gráfica de equações nesse sistema. Para resolver, vamos precisar entender como converter essa equação para coordenadas cartesianas ou identificar que tipo de curva ela representa diretamente em polares.
Passo 2
Primeiro, lembremos que em coordenadas polares,
é a distância do ponto até a origem, e
é o ângulo formado com o eixo positivo x. A equação dada é
. Vamos tentar identificar que tipo de curva isso representa.
Passo 3
Sabemos que algumas equações em coordenadas polares correspondem a figuras geométricas conhecidas. Por exemplo,
é um círculo,
é uma linha, e assim por diante. A presença do termo
sugere que a curva pode ser uma cônica, possivelmente uma elipse ou hipérbole, mas vamos verificar.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
. Podemos rearranjar isso para
. Agora, precisamos relacionar isso com as formas padrão das curvas em coordenadas polares.
Passo 5
Sabemos que equações que combinam termos de
e funções de
geralmente representam curvas que variam de distância dependendo do ângulo. Nesse caso, a presença de
sugere que a distância
muda conforme o seno do ângulo, o que caracteriza uma forma de ondulação ou desvio em relação a uma forma base.
Passo 6
Para representar geometricamente, podemos esboçar o gráfico considerando diferentes valores de
de 0 a
e calcular os correspondentes valores de
. Isso nos dará pontos que podemos plotar no plano polar:
Por exemplo:
- Para
: → - Para
: → - Para
: → - Para
: →
Passo 7
Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, observamos que a curva resultante é um tipo de cíclica com simetria em relação ao eixo x, mas com variações na distância
conforme o ângulo
. Essa representação gráfica mostra como os pontos se distribuem no plano conforme a equação dada.
Resposta
A representação geométrica dos pontos que satisfazem
é uma curva poligonal no plano polar onde a distância
do ponto à origem varia com o seno do ângulo
, formando uma curva simétrica que se estende até
quando
e retorna a
em
e
.