A CAT scan produces equally spaced cross-sectional views of a human organ that provide information about the organ otherwise obtained only by surgery. Suppose that a CAT scan of a human liver shows cross-sections spaced 1.5 cm apart. The liver is 15 cm long and the cross-sectional areas, in square centimeters, are
, and 0 . Use the Midpoint Rule to estimate the volume of the liver.
Passo 1
Então, o problema fala sobre como um scanner CAT tira cortes transversais igualmente espaçados de um órgão humano, no caso, o fígado. A gente tem que usar a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do fígado. Para isso, vamos precisar dos espaçamentos entre os cortes (1,5 cm) e das áreas desses cortes.
Passo 2
A Regra do Ponto Médio é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva usando retângulos. Cada retângulo tem base igual ao espaçamento entre os cortes (
cm) e altura igual à área no ponto médio de cada intervalo. Esses retângulos vão ajudar a estimar o volume total do fígado.
Passo 3
Primeiro, identificamos os pontos médios entre os cortes dados. Como os cortes estão espaçados a cada 1,5 cm, os pontos médios ficam a cada
cm (metade de 1,5 cm). As áreas nos pontos médios podem ser aproximadas pela média das áreas dos cortes adjacentes.
Passo 4
Vamos calcular as áreas nos pontos médios:
Passo 5
Agora, somamos todas as áreas nos pontos médios:
Passo 6
Multiplicamos essa soma pelo espaçamento entre os cortes para obter o volume:
Resposta
O volume estimado do fígado é de 1053 cm³.