A CAT scan produces equally spaced cross-sectional views of a human organ that provide information about the organ otherwise obtained only by surgery. Suppose that a CAT scan of a human liver shows cross-sections spaced 1.5 cm apart. The liver is 15 cm long and the cross-sectional areas, in square centimeters, are 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39, and 0 . Use the Midpoint Rule to estimate the volume of the liver.

Passo 1

Então, o problema fala sobre como um scanner CAT tira cortes transversais igualmente espaçados de um órgão humano, no caso, o fígado. A gente tem que usar a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do fígado. Para isso, vamos precisar dos espaçamentos entre os cortes (1,5 cm) e das áreas desses cortes.

Passo 2

A Regra do Ponto Médio é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva usando retângulos. Cada retângulo tem base igual ao espaçamento entre os cortes ( cm) e altura igual à área no ponto médio de cada intervalo. Esses retângulos vão ajudar a estimar o volume total do fígado.

Passo 3

Primeiro, identificamos os pontos médios entre os cortes dados. Como os cortes estão espaçados a cada 1,5 cm, os pontos médios ficam a cada cm (metade de 1,5 cm). As áreas nos pontos médios podem ser aproximadas pela média das áreas dos cortes adjacentes.

Passo 4

Vamos calcular as áreas nos pontos médios:
é²é²é²é²é²é²é²é²é²é²

Passo 5

Agora, somamos todas as áreas nos pontos médios:
²

Passo 6

Multiplicamos essa soma pelo espaçamento entre os cortes para obter o volume:
á²³

Resposta

O volume estimado do fígado é de 1053 cm³.

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