Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos montar uma integral que represente o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada por curvas específicas ao redor de uma linha determinada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os métodos dos discos ou das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, identificamos as curvas que delimitam a região que será rotacionada. Vamos chamar a curva de cima de
e a curva de baixo de
. Também precisamos identificar a linha em torno da qual vamos rotacionar essa região; vamos chamar essa linha de
.
Passo 3
Em seguida, encontramos os pontos de interseção das curvas
e
para determinar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde as curvas se encontram. Vamos chamar esses pontos de
e
.
Passo 4
Escolhemos o método apropriado para calcular o volume. Se a rotação for em torno de uma linha horizontal, geralmente usamos o método dos discos ou dos anéis. Se for em torno de uma linha vertical, o método das cascas cilíndricas pode ser mais adequado.
Passo 5
Finalmente, escrevemos a expressão da integral que representa o volume. Usando o método dos discos, a integral fica:
Resposta
A integral para o volume do sólido é:
Exercícios relacionados
Desenvolva a função
em série de MacLaurin, determinando o termo geral de sua expansão e o seu intervalo de convergência.
Utilize a representação em série de potências, centrada em zero, de
para provar a seguinte expressão para
como soma de uma série numérica:
.
A CAT scan produces equally spaced cross-sectional views of a human organ that provide information about the organ otherwise obtained only by surgery. Suppose that a CAT scan of a human liver shows cross-sections spaced 1.5 cm apart. The liver is 15 cm long and the cross-sectional areas, in square centimeters, are
, and 0 . Use the Midpoint Rule to estimate the volume of the liver.
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(f)
(f)