Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos montar uma integral que represente o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada por curvas específicas ao redor de uma linha determinada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os métodos dos discos ou das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, identificamos as curvas que delimitam a região que será rotacionada. Vamos chamar a curva de cima de
e a curva de baixo de
. Também precisamos identificar a linha em torno da qual vamos rotacionar essa região; vamos chamar essa linha de
.
Passo 3
Em seguida, encontramos os pontos de interseção das curvas
e
para determinar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde as curvas se encontram. Vamos chamar esses pontos de
e
.
Passo 4
Escolhemos o método apropriado para calcular o volume. Se a rotação for em torno de uma linha horizontal, geralmente usamos o método dos discos ou dos anéis. Se for em torno de uma linha vertical, o método das cascas cilíndricas pode ser mais adequado.
Passo 5
Finalmente, escrevemos a expressão da integral que representa o volume. Usando o método dos discos, a integral fica:
Resposta
A integral para o volume do sólido é: