Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(f) f(x) = sen(x^5) / x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenvolver a série de Taylor e Maclaurin da função . Isso cai dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente as séries de Taylor e Maclaurin. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer a expansão em série da função seno e fazer algumas manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função seno. A série de Taylor da função em torno de 0 (que também é a série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos expandir o seno de qualquer expressão usando essa fórmula.

Passo 3

No nosso caso, o dentro do seno é . Então, vamos substituir por na série que acabamos de recordar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o termo . Lembrando que , temos:
Então, a série fica:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar . Então, vamos dividir toda a série que obtivemos por :

Passo 6

Podemos reescrever a série de uma forma um pouco mais organizada:
Isso significa que cada termo da série depende de , e somando todos esses termos, a gente obtém a série de Taylor e Maclaurin para a função .

Resposta

A série de Taylor e Maclaurin para a função é:

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A CAT scan produces equally spaced cross-sectional views of a human organ that provide information about the organ otherwise obtained only by surgery. Suppose that a CAT scan of a human liver shows cross-sections spaced 1.5 cm apart. The liver is 15 cm long and the cross-sectional areas, in square centimeters, are 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39, and 0 . Use the Midpoint Rule to estimate the volume of the liver.
Set up, but do not evaluate, an integral for the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the specified line.
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(b) lim x 0 sin (x^2)+cos (x^3)-x^2-1x^6
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(h) lim x 0 sin (x^8)+cos (3 x^4)-1e^x^8-1